Analiza wymiarowa

Analiza wymiarowa jest narzędziem powszechnie stosowanym w fizyce, chemii oraz inżynierii (głównie mechanicznej oraz chemicznej), opartym na teorii podobieństwa, stosowanym do wyznaczania warunków podobieństwa dynamicznego poprzez analizę wielkości fizycznych charakteryzujących dane zjawisko.

Każdą zależność funkcyjną (nieznaną) można zapisać jako funkcję kilku parametrów fizycznych (niezależnych, np. temperatura, czas itp.), z których każdy posiada swój wymiar (w układzie SI będzie to np. metr lub sekunda). Najprostszy taki przypadek (spadek ciśnienia w przewodzie) można wyrazić jako funkcję długości przewodu ${\displaystyle (l),}$ średnicy przewodu ${\displaystyle (d),}$ prędkości płynu ${\displaystyle (u),}$ lepkości dynamicznej płynu ${\displaystyle (\mu )}$ oraz gęstości płynu ${\displaystyle (\rho ){:}}$

${\displaystyle \Delta p=f{\rm {(d,l,u,\mu ,\rho ).}}}$

Założone parametry mają następujące wymiary:

${\displaystyle [d]={\rm {{L},}}}$ ${\displaystyle [l]={\rm {{L},}}}$ ${\displaystyle [u]={\rm {{\frac {L}{T}},}}}$ ${\displaystyle [\mu ]={\rm {{\frac {M}{L\cdot T}},}}}$ ${\displaystyle [\rho ]={\rm {{\frac {M}{L^{3}}}.}}}$

Każdą taką funkcję można wyrazić w postaci potęgowej:

${\displaystyle \Delta p=C\cdot d^{A}\cdot l^{B}\cdot u^{D}\cdot \mu ^{E}\cdot \rho ^{F},}$

gdzie litery od ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle F}$ oznaczają stałe.

Zgodnie z zasadą zgodności wymiarowej, wartość po lewej stronie równania musi równać się wartości po prawej stronie równania. Przyjmując, że wymiarem ciśnienia jest ${\displaystyle {\rm {\frac {M}{L\cdot T^{2}}}}}$ równanie przyjmuje postać:

${\displaystyle {\rm {{M^{1}\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}=C\cdot L^{A}\cdot L^{B}\cdot L^{D}\cdot T^{-D}\cdot M^{E}\cdot L^{-E}\cdot T^{-E}\cdot M^{F}\cdot L^{-3F}}.}}}$

Z porównania wykładników potęgowych wymiarów po lewej oraz po prawej stronie równania powstaje układ trzech równań:

dla   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\rm {L}}\\{\rm {M}}\\{\rm {T}}\end{array}}\left\{{\begin{array}{l}-1=A+B+D-E-3F\\1=E+F\\-2=-D-E\end{array}}\right.}$

Jest to układ trzech równań z pięcioma niewiadomymi. Można go rozwiązać, przyjmując dwie z pięciu wartości za znane (np. ${\displaystyle B}$ oraz ${\displaystyle E}$).

${\displaystyle F=1-E,}$

${\displaystyle D=2-E,}$

${\displaystyle A=3F+E-1-B-D,}$

${\displaystyle A=3-3E+E-1-B-2+E,}$

${\displaystyle A=-E-B.}$

Ostateczna postać wzoru:

${\displaystyle \Delta p=C\cdot d^{-E-B}\cdot l^{B}\cdot u^{2-E}\cdot \mu ^{E}\cdot \rho ^{1-E},}$

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}=C\cdot \left({\frac {l}{d}}\right)^{B}\cdot \left({\frac {\mu }{ud\rho }}\right)^{E},}$

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}=C\cdot \left({\frac {l}{d}}\right)^{B}\cdot \left({\frac {ud\rho }{\mu }}\right)^{-E},}$

${\displaystyle {\rm {{Eu}=f{\rm {\left({\frac {l}{d}},Re\right),}}}}}$

gdzie:

${\displaystyle {\rm {Re}}}$ – liczba Reynoldsa,

${\displaystyle {\rm {Eu}}}$ – liczba Eulera.

Twierdzenie Buckinghama (znany również jako twierdzenie Π) mówi, że liczba modułów bezwymiarowych równa jest liczbie niezależnych parametrów fizycznych pomniejszonych o liczbę wymiarów podstawowych (metr, sekunda, kilogram, kelwin, amper, kandela).

Równanie o n zmiennych, można zapisać w postaci:

${\displaystyle f{\rm {(Q_{1},Q_{2},Q_{3},\dots ,Q_{n})=0.}}}$

Jeżeli liczbę parametrów podstawowych występującym w tym równaniu oznaczymy przez r, to zgodnie z teorematem Π liczba modułów bezwymiarowych będzie równa n-r, co można zapisać:

${\displaystyle f{\rm {(\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\dots ,\pi _{n-r})=0.}}}$

W omówionym przykładzie liczba parametrów niezależnych ${\displaystyle (n)}$ równa jest 6, liczba wartości podstawowych występującym w tym równaniu ${\displaystyle (r)}$ jest równa 3 (m, kg, s) tak więc liczba modułów bezwymiarowych (Π) równa jest 3.