Arytmetyzacja języka

Arytmetyzacja języka lub arytmetyzacja składni – metoda efektywnego numerowania wszystkich wyrażeń języka badanej teorii za pomocą liczb naturalnych. Wprowadzona przez Kurta Gödla, pojawia się w dowodzie twierdzenia nazwanego jego nazwiskiem^[1].

Aby każdemu wyrażeniu przyporządkować pewną liczbę, przyporządkowuje się najpierw pewne liczby podstawowym znakom teorii (znaki stałe, znaki zmienne), a następnie dowolnym wyrażeniom, czyli ciągom skończonym znaków elementarnych. W rezultacie każde wyrażenie A rozważanej teorii – niezależnie czy jest nim znak elementarny, czy ciąg znaków (formuła), czy też ciąg ciągów znaków (ciąg formuł) – posiada przyporządkowany mu jednoznacznie pewien numer ${\displaystyle {\mbox{Nr }}A.}$ Funkcja ${\displaystyle {\mbox{Nr}}}$ przekształca w sposób wzajemnie jednoznaczny wyrażenia teorii w pewien podzbiór zbioru liczb naturalnych. Zamiast mówić o własnościach zbioru wyrażeń (obliczalność, rekurencyjna przeliczalność) można mówić o własnościach zbioru ich numerów.

Dziewiętnastu znakom teorii arytmetyki można przyporządkować 19 kolejnych liczb naturalnych zgodnie z tabelą:

${\displaystyle (}$	${\displaystyle )}$	${\displaystyle \exists }$	${\displaystyle \forall }$	${\displaystyle \neg }$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \vee }$	${\displaystyle \wedge }$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle S}$	${\displaystyle <}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle _{\mbox{I}}}$	${\displaystyle ,}$
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

Jeżeli ${\displaystyle a}$ jest jednym z powyżej wypisanych 19 znaków podstawowych, to przez ${\displaystyle {\mbox{Nr }}a}$ oznaczymy przyporządkowaną mu liczbę w tabeli. Każdemu wyrażeniu ${\displaystyle A}$ będącemu ciągiem symboli podstawowych

${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}$

można przyporządkować numer

${\displaystyle {\mbox{Nr }}A=2^{\operatorname {Nr} \,a_{1}}\cdot 3^{\operatorname {Nr} \,a_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\operatorname {Nr} \,a_{n}},}$

gdzie ${\displaystyle p_{n}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-tą liczbę pierwszą. Na przykład wyrażeniu „${\displaystyle x=0}$” odpowiada numer

${\displaystyle 2^{17}\cdot 5^{16}\cdot 7^{10}.}$

• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1961, s. 365–367.
• Logika formalna. Zarys encyklopedyczny. Witold Marciszewski (red.). Warszawa: PWN, 1987, s. 145. ISBN 83-01-04998-7.

• Arithmetization (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].