Diagonalizacja endomorfizmu

Diagonalizacja endomorfizmu ${\displaystyle f}$ skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej ${\displaystyle V}$ – proces znajdowania bazy ${\displaystyle B}$ przestrzeni ${\displaystyle V,}$ w której macierz ${\displaystyle M_{f}(B)}$ jest diagonalna.

Endomorfizm nazywamy diagonalizowalnym, jeśli taka baza istnieje.

Niech ${\displaystyle \dim V=n<\infty .}$ Endomorfizm ${\displaystyle f\colon V\longrightarrow V}$ jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza ${\displaystyle B}$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.

Dowód

Diagonalizowalność endomorfizmu ${\displaystyle f}$ jest równoważna istnieniu w przestrzeni ${\displaystyle V}$ „diagonalnej” bazy ${\displaystyle B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\},}$ dla której

${\displaystyle M_{f}(B)={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ldots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

Ponieważ w tej bazie ${\displaystyle i}$-ta kolumna macierzy endomorfizmu jest układem współrzędnych wektora ${\displaystyle f(v_{i})}$ w bazie ${\displaystyle B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\},}$ tzn.

${\displaystyle f(v_{i})=0\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}+\ldots +0\cdot v_{i-1}+\lambda _{i}v_{i}+0\cdot v_{i+1}+\ldots +0\cdot v_{n}=\ \lambda _{i}v_{i},}$

więc wszystkie wektory ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ są wektorami własnymi endomorfizmu ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \blacksquare .}$

Wniosek

Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest endomorfizmem diagonalizowalnym i ${\displaystyle D=M_{f}(B)}$ jest macierzą diagonalną, to baza ${\displaystyle B}$ składa się z wektorów własnych endomorfizmu ${\displaystyle f,}$ a przekątna macierzy ${\displaystyle D}$ składa się z (niekoniecznie różnych) wartości własnych endomorfizmu ${\displaystyle f}$ (z zachowaniem odpowiedniej kolejności).

Niech ${\displaystyle \dim V=n.}$ Warunkiem wystarczającym na diagonalizowalność endomorfizmu ${\displaystyle f\colon V\longrightarrow V}$ jest, aby wielomian charakterystyczny endomorfizmu ${\displaystyle f}$ miał n różnych wartości własnych.

Uwaga:

Jeżeli ${\displaystyle \lambda _{0}}$ jest wartością własną endomorfizmu ${\displaystyle f}$ o krotności ${\displaystyle k_{0}}$ (jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego), to dla podprzestrzeni ${\displaystyle V_{0}}$ odpowiadającej wartości własnej ${\displaystyle \lambda _{0}{:}}$

${\displaystyle 1\leqslant \dim V_{0}\leqslant k_{0}.}$

Liczbą ${\displaystyle k_{0}}$ nazywamy wówczas krotnością algebraiczną, a liczbę ${\displaystyle \dim V_{0}}$ nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej ${\displaystyle \lambda _{0}.}$

Niech ${\displaystyle \dim V=n.}$ Endomorfizm ${\displaystyle f\colon V\longrightarrow V}$ jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

• wielomian charakterystyczny endomorfizmu ${\displaystyle f}$ ma postać ${\displaystyle \Delta (\lambda )=(\lambda _{1}-\lambda )^{k_{1}}\cdot (\lambda _{2}-\lambda )^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot (\lambda _{p}-\lambda )^{k_{p}},}$

gdzie ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{p}=n}$ oraz ${\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{j}}$ dla ${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,p\},\ i\neq j,}$

• ${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus \ldots \oplus V_{p},}$

gdzie ${\displaystyle V_{i}<V}$ jest podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle V}$ odpowiadającą wartości własnej ${\displaystyle \lambda _{i}}$ oraz ${\displaystyle \dim V_{i}=k_{i}.}$

Diagonalizacja endomorfizmu ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\longrightarrow (-x_{1}-3x_{3},3x_{1}+2x_{2}+3x_{3},-3x_{1}-x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}{:}}$

Niech ${\displaystyle B}$ będzie bazą kanoniczną w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle A=M_{f}(B)={\begin{bmatrix}-1&0&-3\\3&2&3\\-3&0&-1\end{bmatrix}}.}$

Niech ${\displaystyle \Delta (\lambda )}$ będzie wielomianem charakterystycznym macierzy ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta (\lambda )={\begin{vmatrix}-1-\lambda &0&-3\\3&2-\lambda &3\\-3&0&-1-\lambda \end{vmatrix}}=-(\lambda -2)^{2}\cdot (\lambda +4).}$

Wówczas

${\displaystyle \lambda _{1}=2,\ \ k_{1}=2,}$

${\displaystyle \lambda _{2}=-4,\ \ k_{2}=1.}$

Konstrukcja przestrzeni własnej ${\displaystyle V_{1}}$ odpowiadającej wartości własnej ${\displaystyle \lambda _{1}=2{:}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&0&-3\\3&0&3\\-3&0&-3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\ \ \Leftrightarrow \ -3x_{1}-3x_{3}=0\ \Leftrightarrow \ x_{1}=-x_{3}.}$

Stąd

${\displaystyle V_{1}=\{(-\alpha ,\beta ,\alpha ):\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}=\{\alpha (-1,0,1)+\beta (0,1,0):\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}=\operatorname {Lin} \{(-1,0,1),(0,1,0)\}.}$

Wektory ${\displaystyle (-1,0,1),(0,1,0)}$ są oczywiście liniowo niezależne i stanowią bazę ${\displaystyle B_{1}}$ przestrzeni ${\displaystyle V_{1}.}$

Konstrukcja przestrzeni własnej ${\displaystyle V_{2}}$ odpowiadającej wartości własnej ${\displaystyle \lambda _{2}=-4{:}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0&-3\\3&6&3\\-3&0&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\ \ \Leftrightarrow \ 3x_{1}-3x_{3}=0\ \wedge \ 3x_{1}+6x_{2}+3x_{3}=0\Leftrightarrow \ x_{1}=x_{3}\ \wedge \ x_{1}=-x_{2}.}$

Stąd

${\displaystyle V_{2}=\{(\alpha ,-\alpha ,\alpha ):\alpha \in \mathbb {R} \}=\{\alpha (1,-1,1)):\alpha \in \mathbb {R} \}=\operatorname {Lin} \{(1,-1,1)\}.}$

Wektor ${\displaystyle (1,-1,1)}$ jest bazą ${\displaystyle B_{2}}$ przestrzeni ${\displaystyle V_{2}.}$

Ostatecznie

• ${\displaystyle \dim V_{1}=2=k_{1},}$
• ${\displaystyle \dim V_{2}=1=k_{2},}$

więc ${\displaystyle f}$ jest endomorfizmem diagonalizowalnym.

• Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas: Algebra liniowa 2: definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. VI rozszerzone. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002, s. 145, seria: Matematyka dla Studentów Politechniki Wrocławskiej. ISBN 978-83-85941-89-7. OCLC 69535787.