Entropia topologiczna

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla dowolnego skończonego pokrycia otwartego ${\displaystyle C}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ niech ${\displaystyle H(C)}$ oznacza logarytm (zazwyczaj o podstawie 2) z minimalnej liczby elementów ${\displaystyle C}$, które stanowią pokrycie ${\displaystyle X}$.

Dla dwóch skończonych pokryć otwartych ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle D}$ przez ${\displaystyle C\wedge D}$ oznaczmy pokrycie ${\displaystyle X}$ złożone z przecięć elementów tych pokryć. Analogicznie rozszerzamy tę notację na większą liczbę pokryć.

Dla dowolnego ciągłego odwzorowania ${\displaystyle f\colon X\to X}$ istnieje granica:

${\displaystyle H(f,C)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C).}$

Entropią topologiczną dla odwzorowania f określamy liczbę:

${\displaystyle h(f)=\sup _{C\in {\mathcal {C}}}H(f,C)}$

Gdzie przez ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ oznaczamy zbiór wszystkich skończonych pokryć ${\displaystyle X}$.

Niech ${\displaystyle f\colon X\to X}$ będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,d)}$.

Dla ${\displaystyle n=1,2,...,}$ zdefiniujmy ciąg metryk ${\displaystyle d_{n}^{f},}$ dany wzorem:

${\displaystyle d_{n}^{f}(x,y)=\max _{0\leq i\leq n-1}\{d(f^{i}(x),f^{i}(y))\}}$

Dla dowolnego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ i ${\displaystyle n\geq 1}$ dwa punkty w ${\displaystyle (X,d_{n}^{f})}$ są w odległości nie większej niż ${\displaystyle \varepsilon }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze n iteracji nie oddala ich o więcej niż ${\displaystyle \varepsilon .}$ Metryki te są równoważne ${\displaystyle d}$ więc w szczególności ${\displaystyle (X,d_{n}^{f})}$ są zwartymi przestrzeniami metrycznymi.

Mówimy, że podzbiór ${\displaystyle E\subseteq X}$ przestrzeni metrycznej jest ε-oddzielony, gdy dowolne dwa jego punkty są w odległości co najmniej ε w metryce odziedziczonej z ${\displaystyle X}$. Niech ${\displaystyle N(\varepsilon ,n)}$ będzie maksymalną mocą takiego zbioru dla ${\displaystyle (X,d_{n}^{f})}$. Ponieważ ta przestrzeń metryczna jest zwarta, gwarantuje to, że moc takiego zbioru jest liczbą skończoną.

Entropią topologiczną dla odwzorowania f określamy liczbę:

${\displaystyle h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\epsilon )\right).}$