Funkcja produkcji CES

Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow^[1], a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow^[2] jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać^[2]:

${\displaystyle f(k,l)=\left(\alpha k^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}+\beta l^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}},}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \sigma }$ są większe od 0,

${\displaystyle k}$ – kapitał,

${\displaystyle l}$ – praca,

${\displaystyle \sigma }$ – elastyczność substytucji,

co jest równoznaczne z zapisem:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(\alpha {x_{1}}^{\rho }+\beta {x_{2}}^{\rho })^{\frac {\gamma }{\rho }},}$

gdzie:

${\displaystyle \gamma }$ – stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się ${\displaystyle \gamma =1.}$

Funkcja CES jest homogeniczna stopnia ${\displaystyle \gamma .}$ Dla ${\displaystyle \rho \leqslant -1}$ jest quasi-wypukła, dla ${\displaystyle \rho \geqslant -1}$ quasi-wklęsła. Dla ${\displaystyle 0<\gamma <1}$ i ${\displaystyle \rho >-1}$ jest ściśle wklęsła.

Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS)^[3].

${\displaystyle MRTS_{k,l}={\frac {\alpha k^{\frac {-1}{\sigma }}}{\beta l^{\frac {-1}{\sigma }}}},}$

po przekształceniu:

${\displaystyle {\frac {k}{l}}=\left({\frac {\alpha MRTS_{l,k}}{\beta }}\right)^{\sigma }.}$

Po zlogarytmowaniu obu stron:

${\displaystyle \ln {\frac {k}{l}}=\sigma \left(\ln {\frac {\alpha }{\beta }}+\ln |MRTS_{l,k}|\right).}$

Stąd elastyczność substytucji:

${\displaystyle ES={\frac {\ln {\frac {k}{l}}}{\ln |MRTS_{l,k}|}}=\sigma .}$

Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=({x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho })^{\frac {1}{\rho }}}$ można przedstawić jako^[4]:

${\displaystyle \min p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}$

przy warunku:

${\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}$

Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:

${\displaystyle p_{1}-\lambda \rho {x_{1}}^{\rho -1}=0,}$

${\displaystyle p_{2}-\lambda \rho {x_{2}}^{\rho -1}=0,}$

${\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}$

Wyznaczamy ${\displaystyle {x_{1}^{\rho }}\;{\text{i}}\;{x_{2}^{\rho }}}$ (1)

${\displaystyle x_{1}^{\rho }=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}},}$

${\displaystyle x_{2}^{\rho }=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}}}$

i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje

${\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]=y^{\rho }.}$

Wyznaczamy ${\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}}$ i podstawiamy do równań z (1):

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},y)=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y,}$

${\displaystyle x_{2}(p_{1},p_{2},y)=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y.}$

Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy

${\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {\rho -1}{\rho }}.}$

W ogólnym przypadku, gdzie ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\big [}(\alpha x_{1})^{\rho }+(\beta x_{2})^{\rho }{\big ]}^{\frac {1}{\rho }},}$ a za ${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho -1}}}$ przyjmiemy ${\displaystyle r,}$ funkcja kosztów przyjmuje postać: ${\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y{\big [}(p_{1}/\alpha )^{r}+(p_{2}/\beta )^{r}{\big ]}^{\frac {1}{r}}.}$

• krańcowa stopa substytucji
• korzyści skali

• R.W. Shephard, Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton, 1978.
• P.H. Douglas, Are there laws of production?, „American Economic Review”, 1948.
• M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application, North-Holland, Amsterdam, 1980.
• Hal R. Varian, Microeconomic analysis, 3rd ed, New York: Norton, 1992.

• Anatomy of CES Production/Utility Functions in Three Dimensions
• Closed Form Solutions in Economics