Funkcja zespolona zmiennej zespolonej

Funkcja zespolona zmiennej zespolonej – funkcja zespolona, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb zespolonych: ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,X\subseteq \mathbb {C} .}$

Przyjmując ${\displaystyle z=x+iy,}$ gdzie ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$ a ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną, funkcję zespoloną zmiennej zespolonej ${\displaystyle f(z)}$ można przedstawić w postaci

${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

gdzie ${\displaystyle u(x,y)}$ i ${\displaystyle v(x,y)}$ są pewnymi funkcjami rzeczywistymi dwóch zmiennych rzeczywistych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$ Funkcję ${\displaystyle u(x,y)}$ nazywamy wtedy częścią rzeczywistą funkcji ${\displaystyle f(z),}$ natomiast funkcję ${\displaystyle v(x,y)}$ częścią urojoną funkcji ${\displaystyle f(z){:}}$

${\displaystyle u(x,y)=\operatorname {re} \;f(z)=\Re f(z),}$

${\displaystyle v(x,y)=\operatorname {im} \;f(z)=\Im f(z).}$

W przypadku funkcji

${\displaystyle f(z)=z^{2}}$

jest

${\displaystyle f(z)=z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy,}$

zatem

${\displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2},}$

${\displaystyle v(x,y)=2xy.}$