Funkcjonał monotonicznie ciągły

Funkcjonał monotonicznie ciągły – funkcjonał zachowujący punktową zbieżność monotonicznych ciągów funkcyjnych.

Niech ${\displaystyle E}$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał ${\displaystyle \mu \in E^{\star }}$ nazywamy monotonicznie ciągłym, jeśli dla każdego ciągu ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset E}$ spełniającego warunki:

1. ${\displaystyle f_{n}\leqslant f_{n+1}}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f}$^[1] (punktowo)

spełnione jest

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (f_{n})=\mu (f).}$

Funkcjonał ${\displaystyle \mu \in E^{\star }}$ jest monotonicznie ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu ${\displaystyle f_{n}\uparrow 0}$ spełnione jest ${\displaystyle \mu (f_{n})\to 0.}$

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce