Gra sprawiedliwa

Gra sprawiedliwa – gra, w której wartość oczekiwana wypłat poszczególnych graczy jest ta sama.

Stała suma gry, w szczególności suma zerowa, nie oznacza jej sprawiedliwości, ani na odwrót: istnieją gry sprawiedliwa, w których suma nie jest stała (a tym bardziej zerowa). Przykładowo, uznając za wypłatę sumę pieniężną, gra w kasynie jest grą o sumie zerowej (wygrana gracza to strata kasyna, i na odwrót; nie rozpatrujemy tu zadowolenia z samego faktu gry), jednakże nie jest ona grą sprawiedliwą (z przyczyn oczywistych prawdopodobieństwa wygranej są dla gracza niekorzystne, a wartość oczekiwana wygranej pieniężnej ujemna).

Dwóch graczy ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zakłada się o wynik rzutu (uczciwie wyważoną) monetą. Jeśli wypadnie orzeł ${\displaystyle \mathrm {O} ,}$ to ${\displaystyle A}$ otrzyma 2 złote od ${\displaystyle B.}$ Jeśli reszka ${\displaystyle \mathrm {R} ,}$ to przeciwnie: będzie musiał zapłacić 2 zł. Ponieważ prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń wynosi ½, a gracze wypłacają sobie takie same kwoty, to wartość oczekiwana wypłat zarówno dla gracza ${\displaystyle A}$, jak i dla ${\displaystyle B}$ jest taka sama:

${\displaystyle X_{\bullet }^{A}}$ – wypłata gracza ${\displaystyle A}$ przy wyniku ${\displaystyle \bullet \in \{\mathrm {O} ,\mathrm {R} \};}$

${\displaystyle X_{\mathrm {O} }^{A}=2,\qquad X_{\mathrm {R} }^{A}=-2;}$

${\displaystyle \mathbb {E} X^{A}=2\cdot {\tfrac {1}{2}}+(-2)\cdot {\tfrac {1}{2}}=0.}$

Ponieważ jest to gra o sumie zerowej, ${\displaystyle X^{A}=-X^{B},}$ to ${\displaystyle \mathbb {E} X^{A}=\mathbb {E} X^{B}.}$