Granica Banacha

Granica Banacha – liniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny – granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$ odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.

Istnieje ograniczony funkcjonał liniowy

${\displaystyle f\colon \ell _{\infty }\to \mathbb {C} }$

mający następujące własności:

1. Jeśli ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }}$ oraz ${\displaystyle x_{n}\geqslant 0,}$ to ${\displaystyle f(x)\geqslant 0,}$
2. Jeśli ${\displaystyle x\in \ell _{\infty },}$ to ${\displaystyle f(x)=f(Sx),}$ gdzie ${\displaystyle Sx=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )}$ dla ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}$
3. ${\displaystyle f(1,1,1,\dots )=1.}$

Funkcjonał ${\displaystyle f}$ taki, jak wyżej nazywamy granicą Banacha.

Niech ${\displaystyle L}$ będzie granicą Banacha oraz ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },y=(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }.}$ Wówczas:

• Jeśli ${\displaystyle x_{n}\leqslant y_{n}}$ dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ to ${\displaystyle L(x)\leqslant L(y)}$
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leqslant L(x)\leqslant \limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ (co oznacza, że ${\displaystyle L(x)=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ dla każdego ciągu zbieżnego ${\displaystyle x}$)
• ${\displaystyle L(x)=1/2}$ dla ${\displaystyle x=(1,0,1,0,\dots )}$ ponieważ ${\displaystyle x+Sx=(1,1,1,\dots ),}$ skąd ${\displaystyle L(x+Sx)=1,}$ ale

${\displaystyle L(x+Sx)=L(x)+L(Sx)=2L(x),}$

czyli ${\displaystyle L(x)=1/2}$

• Granica Banacha nie jest funkcjonałem multyplikatywnym, tzn. istnieją takie ciągi ograniczone ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y,}$ że

${\displaystyle L(xy)\neq L(x)\cdot L(y).}$

Istotnie, gdyby granica Banacha była funkcjonałem multyplikatywnym, to biorąc ${\displaystyle x=(1,0,1,0,\dots )}$ dostalibyśmy

${\displaystyle 0=L(0)=L(x\cdot Sx)=L(x)\cdot L(Sx)=(L(x))^{2}={\tfrac {1}{4}},}$

co stanowi sprzeczność.

• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 98. ISBN 978-83-01-15802-6.