Grupa kwaternionów

Grupa kwaternionów – nieabelowa^[1][2][3][4] grupa^[5][6] multyplikatywna^[2][7] rzędu 8^[1][6][8], oznaczana symbolem ${\displaystyle Q_{8}}$^{[1][2][4][7][9][10]} lub rzadziej ${\displaystyle Q}$^{[5][11][12][13][14]} lub ${\displaystyle Quat}$^[5], składająca się z następujących elementów: ${\displaystyle \{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}}$^[1][2][6] będących kwaternionami^[2][11]. Generatorami tej grupy są kwaterniony ${\displaystyle i}$ oraz ${\displaystyle j}$^[2][4].

Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku^[12]. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie^[11].

Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$^[5][7]. Określmy następujące macierze:

${\displaystyle {\widehat {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\widehat {i}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},{\widehat {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},{\widehat {k}}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$^{[5][7][9][13][14]}.

Wtedy zbiór ${\displaystyle \{{\widehat {1}},-{\widehat {1}},{\widehat {i}},-{\widehat {i}},{\widehat {j}},-{\widehat {j}},{\widehat {k}},-{\widehat {k}}\}}$ tworzy grupę ${\displaystyle Q_{8}}$^[7][9].

W grupie kwaternionów można utworzyć następującą tablicę Cayleya^{[1][2][6][10][11][15]}:

${\displaystyle \cdot }$	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Podgrupami grupy kwaternionów są ${\displaystyle \{1\},}$ ${\displaystyle \{1,-1\},}$ ${\displaystyle \{1,-1,i,-i\},}$ ${\displaystyle \{1,-1,j,-j\},}$ ${\displaystyle \{1,-1,k,-k\}}$ oraz ${\displaystyle \{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}}$^[1]. Wszystkie podgrupy tej grupy są normalne^[1][3].

Ponieważ każda podgrupa nieabelowej grupy ${\displaystyle Q_{8}}$ jest normalna, to mówimy, że grupa kwaternionów jest grupą Hamiltona^[3][9].

Grupa kwaternionów pojawia się w mechanice kwantowej, w teorii spinu elektronu Wolfganga Pauliego^[11], a powyższe macierze nazywane są macierzami Pauliego^[16].