Gwiazda Pełczyńskiego

Gwiazda Pełczyńskiego (gwiazda naprężeń) – graficzna reprezentacja stanu naprężenia, opracowana przez profesora Politechniki Warszawskiej Tadeusza Pełczyńskiego. Gwiazda Pełczyńskiego pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń głównych i maksymalnych naprężeń stycznych.

Skonstruowanie gwiazdy Pełczyńskiego możliwe jest po wyznaczeniu niezmienników stanu naprężenia, oznaczonych przez ${\displaystyle \sigma _{\text{m}},}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{H}}}$ oraz ${\displaystyle \omega }$^[1]. Konstrukcja polega na wyrysowaniu w układzie ${\displaystyle \sigma -\tau }$ okręgu o środku w punkcie ${\displaystyle (\sigma _{\text{m}},0)}$ i promieniu ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}.}$ Następnie z punktu ${\displaystyle (\sigma _{\text{m}},0)}$ do okręgu prowadzone są trzy odcinki nachylone pod kątami odpowiednio ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega -120^{\circ },}$ ${\displaystyle \omega -240^{\circ }.}$ Rzutowanie na oś poziomą punktów wyznaczonych przez przecięcie odcinków oraz okręgu definiuje wartości naprężeń głównych^[2].

Poszukiwane naprężenia główne są pierwiastkami równania

${\displaystyle \sigma ^{3}-3\sigma _{\text{m}}\sigma ^{2}+N_{1}\sigma -N_{2}=0,}$

(1)

w którym

${\displaystyle \sigma _{\text{m}}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z}}{3}},}$

${\displaystyle N_{1}=\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{x}-\tau _{xy}^{2}-\tau _{yz}^{2}-\tau _{zx}^{2},}$

${\displaystyle N_{2}=\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}+2\tau _{xy}\tau _{yz}\tau _{zx}-\sigma _{x}\tau _{yz}^{2}-\sigma _{y}\tau _{zx}^{2}-\sigma _{z}\tau _{xy}^{2}.}$

Równanie (1) można rozwiązać stosując podstawienie

${\displaystyle \sigma =S+\sigma _{\text{m}}.}$

(2)

Wtedy równanie (1) przyjmuje postać

${\displaystyle S^{3}\underbrace {-(3\sigma _{\text{m}}^{2}-N_{1})} _{a}S\underbrace {-(2\sigma _{\text{m}}^{3}-\sigma _{\text{m}}N_{1}+N_{2})} _{b}=0.}$

Pierwiastkami powyższego równania są

${\displaystyle {\begin{aligned}&S_{1}=2{\sqrt {-{\frac {a}{3}}}}\cos(\omega )={\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega ),\\&S_{2}=2{\sqrt {-{\frac {a}{3}}}}\cos(\omega -120^{\circ })={\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -120^{\circ }),\\&S_{3}=2{\sqrt {-{\frac {a}{3}}}}\cos(\omega -240^{\circ })={\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -240^{\circ }),\end{aligned}}}$

(3)

przy czym

${\displaystyle \cos(3\omega )={\frac {-b}{2{\sqrt {\left(-{\frac {a}{3}}\right)^{3}}}}}={\frac {2\sigma _{\text{m}}^{3}-\sigma _{\text{m}}N_{1}+N_{2}}{2{\sqrt {\left({\frac {3\sigma _{\text{m}}^{2}-N_{1}}{3}}\right)^{3}}}}},}$

oraz

${\displaystyle \sigma _{\text{H}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {(\sigma _{x}-\sigma _{y})^{2}+(\sigma _{y}-\sigma _{z})^{2}+(\sigma _{z}-\sigma _{x})^{2}+6(\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{zx}^{2})}}.}$

Po podstawieniu (3) do (2) otrzymano

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{1}=\sigma _{\text{m}}+{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega ),\\&\sigma _{2}=\sigma _{\text{m}}+{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -120^{\circ }),\\&\sigma _{3}=\sigma _{\text{m}}+{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}\cos(\omega -240^{\circ }).\end{aligned}}}$

(4)

Należy zaznaczyć, że ${\displaystyle \sigma _{\text{m}},}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{H}}}$ oraz ${\displaystyle \omega }$ są niezmiennikami stanu naprężenia.

Przy przyjęciu układu współrzędnych, zgodnego z kierunkami naprężeń głównych, niezmienniki opisane są wzorami

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{\text{m}}={\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}}{3}},\\&\sigma _{\text{H}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}}},\end{aligned}}}$

natomiast

${\displaystyle \cos(\omega )={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{\text{m}}}{{\frac {2}{3}}\sigma _{\text{H}}}}.}$

Postać wzorów (4) definiuje bezpośrednio graficzną interpretację^[1], przedstawioną powyżej.

• koło Mohra
• Tadeusz Pełczyński