Hermitowska miara spektralna

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz ${\displaystyle L(H)}$ oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H.}$

Funkcję ${\displaystyle E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)}$ nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni ${\displaystyle X}$ (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. ${\displaystyle E(B)}$ jest operatorem samosprzężonym dla ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(X).}$
2. ${\displaystyle E(X)=I,}$
3. ${\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(X)}$
4. Funkcja ${\displaystyle B\mapsto E(B)x,\;x\in H,\;B\in {\mathcal {B}}(X)}$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Niech ${\displaystyle E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)}$ będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle (E(B)x|x)=\|E(B)x\|^{2}}$ dla ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(X).}$
• Jeżeli ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(X)}$ są rozłączne, to ${\displaystyle E(B_{1})H\perp E(B_{2})H}$ oraz ${\displaystyle \|E(\cdot )x\|(X)=\|x\|,\;x\in H.}$
• Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {C} }$ operator

${\displaystyle \Omega (g)x=\int \limits _{X}g(\lambda )E(d\lambda )x}$

jest liniowy i ciągły, a jeżeli ${\displaystyle g(X)\subseteq \mathbb {R} ,}$ to także samosprzężony. Ponadto

${\displaystyle \|\Omega (g)\|\leqslant \sup\{|g(\lambda )|\colon \lambda \in X\},\;\;\|\Omega (g)\|^{2}=\int \limits _{X}|g(\lambda )|^{2}\|E(d\lambda )x\|^{2},\;x\in H}$

oraz ${\displaystyle \Omega (g_{1},g_{2})=\Omega (g_{1})\circ \Omega (g_{2})}$ dla ${\displaystyle g_{1},g_{2}\colon X\to \mathbb {C} }$ ograniczonych funkcji borelowskich.

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest zwartą przestrzenią metryczną oraz ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in X}$ istnieje funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}$ że ${\displaystyle f(\lambda _{1})\neq f(\lambda _{2})}$ oraz

${\displaystyle \int \limits _{X}f(\lambda )E_{1}(d\lambda )x=\int \limits _{X}f(\lambda )E_{2}(d\lambda )x,\;x\in H,}$ to ${\displaystyle E_{1}=E_{2}.}$

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta ${\displaystyle H}$ jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ tej przestrzeni. Dalej, niech ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$ będzie zbiorem zwartym oraz ${\displaystyle (\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:

${\displaystyle {\mbox{cl}}\{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}=K\neq \{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.}$

Wówczas operator ${\displaystyle \Lambda \colon H\to H}$ dany wzorem

${\displaystyle \Lambda x=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}(x|e_{n})e_{n}}$

jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo ${\displaystyle \sigma (\Lambda )=K.}$

Funkcja ${\displaystyle E\colon {\mathcal {B}}(X)\to L(H)}$ dana wzorem

${\displaystyle E(B)x=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {1} _{B}(\lambda _{n})(x|e_{n})e_{n},\;x\in H,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {1} _{\cdot }}$ oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz

${\displaystyle \Lambda x=\int \limits _{\sigma (\Lambda )}\lambda E(d\lambda )x,\;x\in H.}$

1. Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972. Brak numerów stron w książce