Hesjan obrzeżony

Hesjan obrzeżony – jest macierzą kwadratową złożoną z pochodnych cząstkowych, która używana jest do rozwiązywania problemu ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych. Pod względem technicznym jest to macierz Hessego poszerzona o dodatkowy wiersz i dodatkową kolumnę.

Mamy daną funkcję: ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

W celu znalezienia lokalnych ekstremów warunkowych możemy skorzystać z funkcji Lagrange’a:

Warunek przekształcamy do postaci

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0.}$

Następnie tworzymy funkcję

${\displaystyle L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\lambda )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})+\lambda \cdot g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Wtedy hesjan obrzeżony przyjmuje postać:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\[1ex]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\\[1ex]\end{bmatrix}}.}$

Definiujemy

${\displaystyle H_{k}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{k}}}\\[1ex]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{k}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{k}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{k}^{2}}}\\[1ex]\end{vmatrix}}}$   dla ${\displaystyle k=2,3,\dots ,n.}$

Uwaga: ${\displaystyle H_{k}}$ jest wyznacznikiem podmacierzy o rozmiarach ${\displaystyle (k+1)\times (k+1).}$

Wtedy, jeśli w danym punkcie ${\displaystyle x_{0}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego ${\displaystyle (\forall _{i=1,2,...,n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=0\wedge {\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=0),}$ prawdziwe są twierdzenia:

Jeśli ${\displaystyle \forall _{k=2,3,\dots ,n}\quad H_{k}(x_{0};\lambda )<0,}$ to funkcja przyjmuje minimum warunkowe w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

Jeśli ${\displaystyle \forall _{k=2,3\dots ,n}\quad (-1)^{k+1}H_{k}(x_{0};\lambda )<0}$^[1], to funkcja przyjmuje maksimum warunkowe w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

W przypadku funkcji dwóch zmiennych ${\displaystyle f(x,y)}$ wystarczy obliczyć wartość jednego wyznacznika:

${\displaystyle H={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial y}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial y^{2}}}\\[1ex]\end{vmatrix}}.}$

• Funkcja ${\displaystyle f(x,y)}$ przyjmuje lokalne maksimum warunkowe w punkcie ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ gdy ${\displaystyle H(x_{0},y_{0};\lambda )>0.}$
• Funkcja ${\displaystyle f(x,y)}$ przyjmuje lokalne minimum warunkowe w punkcie ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ gdy ${\displaystyle H(x_{0},y_{0};\lambda )<0.}$
• Sytuacja nie jest rozstrzygnięta, gdy ${\displaystyle H(x_{0},y_{0};\lambda )=0.}$ Należy wtedy badać istnienie ekstremum innymi metodami.

• Jakub Jeznach: Notatki w Internecie: Analiza Matematyczna - Akademia Górniczo-Hutnicza. [dostęp 2011-05-23]. [zarchiwizowane z tego adresu (2010-01-08)].