Hiperpłaszczyzna podpierająca

Hiperpłaszczyzna podpierająca – pojęcie analizy wypukłej.

Niech ${\displaystyle A}$ będzie niepustym wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X.}$ Funkcjonał liniowy ${\displaystyle f\in X^{*}}$ nazywa się funkcjonałem podpierającym zbiór ${\displaystyle A}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in A,}$ jeśli istnieje taka liczba rzeczywista ${\displaystyle \lambda ,}$ że

${\displaystyle f(x_{0})=\lambda }$

oraz

${\displaystyle A\subseteq \{x\in X\colon f(x)\leqslant \lambda \}.}$

Wówczas ${\displaystyle f^{-1}(\lambda )}$ nazywa się hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór ${\displaystyle A}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

Dla hiperpłaszczyzn podpierających przestrzeni euklidesowych zachodzi twierdzenie o hiperpłaszczyźnie podpierającej:

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją wypukłą. Wtedy:

${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\exists _{r\in \mathbb {R} ^{n}}\forall _{y\in \mathbb {R} ^{n}}~f(y)\geqslant f(x)+\langle r,\;y-x\rangle ,}$

gdzie ${\displaystyle \langle \cdot ,\;\cdot \rangle }$ oznacza standardowy iloczyn skalarny w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Odwzorowanie

${\displaystyle y\mapsto f(x)+\langle r,\;y-x\rangle }$

wyznacza hiperpłaszczyznę podpierającą ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x.}$ Nierówność powyższa oznacza zatem, że wykres ${\displaystyle f}$ jest położony nad każdą hiperpłaszczyzną podpierającą. Jeśli ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w ${\displaystyle x,}$ to

${\displaystyle r=\nabla f(x).}$

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.