Hiperskończony faktor typu II1

Hiperskończony faktor typu II₁ – jedyny z dokładnością do izomorfizmu faktor ${\displaystyle R}$ (tj. algebra von Neumanna o trywialnym centrum), działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta, mający skończony ślad oraz, którego suma skończenie wymiarowych pod-C*-algebr jest gęsta w słabej topologii operatorowej. Jedyność ${\displaystyle R}$ została udowodniona przez Murraya i von Neumanna^[1].

• Hiperskończony faktor typu II₁ ${\displaystyle R}$ jest minimalny w tym sensie, że każdy nieskończenie wymiarowy faktor ${\displaystyle N}$ zawiera ${\displaystyle R.}$ Co więcej, każdy faktor zawarty w ${\displaystyle R}$ jest izomorficzny z ${\displaystyle R.}$
• Dla każdego niezerowego rzutu ${\displaystyle p\in R}$ istnieje izomorfizm ${\displaystyle pRp\cong R.}$
• ${\displaystyle K_{0}(R)=\mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle R}$ jest injektywną algebrą von Neumanna. Injektywność oznacza tutaj injektywność w klasie systemów operatorowych z morfizmami będącymi całkowicie dodatnimi odwzorowaniami liniowymi. (Wynika to z twierdzenia mówiącego, że w klasie faktorów pojęcia injektyności i hiperskończoności pokrywają się). Czasami ${\displaystyle R}$ jest definiowane jako jedyna injektywny faktor o skończonym śladzie działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta.
• Dla każdej ośrodkowej algebry UHF ${\displaystyle A}$ istnieje izomorfizm ${\displaystyle R\cong A^{**}.}$ W szczególności, ${\displaystyle R}$ jest granicą prostą ciągu induktywnego algebr macierzy ${\displaystyle M_{2}^{k}(\mathbb {C} )}$ (w kategorii algebr von Neumanna)

${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\longrightarrow M_{2^{2}}(\mathbb {C} )\longrightarrow \ M_{2^{3}}(\mathbb {C} )\longrightarrow \dots ,}$

gdzie każdy morfizm ${\displaystyle M_{2}^{k}(\mathbb {C} )\to M_{2}^{k+1}(\mathbb {C} )}$ zachowuje jedność.