Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Iloczynem tensorowym operatorów ograniczonych ${\displaystyle T_{1},...,T_{n}}$ określonych na przestrzeniach Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1},...,{\mathcal {H}}_{n}}$ nazywa się operator ${\displaystyle T\equiv T_{1}\otimes ...\otimes T_{n}\equiv \bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}}$ taki że^[1]:

• dziedziną operatora ${\displaystyle T}$ jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta, tj.

  ${\displaystyle D(T)={\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}\cdots \otimes {\mathcal {H}}_{n}}$

  (ogólniej: jeżeli dziedzinami operatorów ${\displaystyle T_{i}}$ są podprzestrzenie odpowiednich przestrzeni Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i},}$ tj. ${\displaystyle D(T_{i})\subseteq {\mathcal {H}}_{i}}$ to dziedziną operatora ${\displaystyle T}$ jest iloczyn tensorowy tych podprzestrzeni)

• wynik działania operatora ${\displaystyle T}$ na wektor ${\displaystyle u=u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{n}}$ – iloczyn tensorowy wektorów ${\displaystyle u_{1}\in {\mathcal {H}}_{1},...,u_{n}\in {\mathcal {H}}_{n},}$ należący do dziedziny ${\displaystyle D(T)}$ operatora ${\displaystyle T,}$ jest równy iloczynowi tensorowemu wektorów ${\displaystyle T_{1}(u_{1}),...,T_{n}(u_{n}),}$ tj.

  ${\displaystyle T(u)=T_{1}(u_{1})\otimes T_{2}(u_{2})\cdots \otimes T_{n}(u_{n})}$

  czyli

  ${\displaystyle T_{1}\otimes ...\otimes T_{n}(u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{n})=T_{1}(u_{1})\otimes T_{2}(u_{2})\cdots \otimes T_{n}(u_{n})}$

Twierdzenie:

Jeżeli

(1) ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i},}$ ${\displaystyle i=1,...,n}$ są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta o wymiarach ${\displaystyle m_{i},}$

(2) ${\displaystyle T_{i}}$ są operatorami samosprzężonymi określonymi na przestrzeniach ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i},}$ oraz

• ${\displaystyle \{\lambda _{ij}\}_{j=1}^{m_{i}}}$ jest zbiorem wartości własnych operatora ${\displaystyle T_{i},}$
• ${\displaystyle \{e_{ij}\}_{j=1}^{m_{i}}}$ jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym operatora ${\displaystyle T_{i}}$

(3) Operator ${\displaystyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}},}$ gdzie

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {H}}_{i}}$ – iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

zadany jest wzorem

${\displaystyle T\bigotimes _{i=1}^{n}e_{ij_{i}}=\bigotimes _{i=1}^{j}T_{i}e_{ij_{i}},\,j_{i}\in \{1,\ldots ,m_{i}\}}$

(przy czym określenie operatora wyłącznie na wektorach bazy jest wystarczające, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie)

to słuszne są następujące własności:

(1) operator ${\displaystyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ jest również operatorem samosprzężonym

(2) Wartościami własnymi operatora ${\displaystyle T}$ są liczby

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\lambda _{ij}}$

(3) dla wszystkich ${\displaystyle u_{i}\in {\mathcal {H}}_{i},}$ ${\displaystyle i=1,...,n}$ słuszne są równości

${\displaystyle T\bigotimes _{i=1}^{n}u_{i}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}u_{i}}$

(4) norma operatora ${\displaystyle T}$ jest iloczynem norm poszczególnych operatorów ${\displaystyle T_{i},}$ gdyż:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\max\{|\prod _{i=1}^{n}\lambda _{ij_{i}}|:1\leq j_{i}\leq m_{i}\}\\&=\prod _{i=1}^{n}\max\{|\lambda _{ij}|\colon 1\leq j\leq m_{i}\}\\&=\prod _{i=1}^{n}\|T_{i}\|\end{aligned}}}$

Jeżeli

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$ są przestrzeniami Hilberta
• ${\displaystyle T_{i}}$ są operatorami ograniczonymi na ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i},}$ gdzie ${\displaystyle i=1,...,n,}$

to istnieje dokładnie jeden taki operator ograniczony ${\displaystyle T}$ na

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {H}}_{i},}$

że

${\displaystyle T\bigotimes _{i=1}^{n}u_{i}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}u_{i}}$

dla wszystkich ${\displaystyle u_{i}\in {\mathcal {H}}_{i}.}$ Ponadto

${\displaystyle \|T\|=\prod _{i=1}^{n}\|T_{i}\|.}$

Operator ${\displaystyle T}$ nazywany jest iloczynem tensorowym operatorów ${\displaystyle T_{i}}$ i oznaczany symbolem

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}.}$

Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}={\mathcal {H}}_{2}=\ldots ={\mathcal {H}}_{n}\equiv {\mathcal {H}}}$ oraz ${\displaystyle T_{1}=T_{2}=\ldots =T_{n}\equiv S,}$ to używa się zapisu

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}\equiv S^{\otimes n}}$

Operator ${\displaystyle S^{\otimes n}}$ nazywany jest n-tą potęgą tensorową operatora ${\displaystyle S.}$^[2]

Dla przestrzeniami Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$ oraz liniowych operatorów ograniczonych ${\displaystyle S_{i},}$ ${\displaystyle T_{i}}$ określonych na przestrzeniach Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i},}$ gdzie ${\displaystyle i=1,...,n}$ niech

${\displaystyle S:=\bigotimes _{i=1}^{n}S_{i},\;T:=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}.}$

Wówczas:

• Odwzorowanie ${\displaystyle (T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n})\mapsto T}$ jest n-liniowe.
• ${\displaystyle ST=\bigotimes _{i=1}^{n}S_{i}T_{i}}$
• ${\displaystyle T^{*}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}^{*},}$
• Jeżeli dla każdego ${\displaystyle i=1,...,n}$ operator odwrotny do ${\displaystyle T_{i}}$ istnieje i jest ograniczony to operator odwrotny do operatora ${\displaystyle T}$ jest również ograniczony.

Ponadto

${\displaystyle T^{-1}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}^{-1}}$

• Jeśli ${\displaystyle T_{i}}$ jest samosprzężony, unitarny lub normalny dla każdego ${\displaystyle i=1,...,n}$ to operator ${\displaystyle T}$ również.
• Operator ${\displaystyle T}$ jest dodatni, jeśli dla każdego ${\displaystyle i=1,...,n}$ operator ${\displaystyle T_{i}}$ jest dodatni.
• Jeśli ${\displaystyle T_{i}=|u_{i}\rangle \langle v_{i}|}$ (zob. notacja Diraca), gdzie ${\displaystyle u_{i},v_{i}\in {\mathcal {H}}_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i=1,...,n}$ wówczas

${\displaystyle T=|u_{1}\otimes u_{2}\otimes \ldots \otimes u_{n}\rangle \langle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \ldots \otimes v_{n}|.}$^[3]

• Jeżeli ${\displaystyle T}$ i ${\displaystyle S}$ są operatorami ograniczonymi na przestrzeniach Hilberta, których widmami są odpowiednio zbiory ${\displaystyle \sigma (T)}$ i ${\displaystyle \sigma (S),}$ to widmem iloczynu tensorowego ${\displaystyle T\otimes S}$ jest zbiór

${\displaystyle \sigma (T)\cdot \sigma (S)=\{t\cdot s\colon \,t\in \sigma (T),s\in \sigma (S)\}}$^[4].

• operator ograniczony