Indeks (teoria liczb)

Indeks – w teorii liczb – liczba odgrywająca w teorii kongruencji rolę analogiczną do roli logarytmów w arytmetyce i algebrze.

Jeśli ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą, a ${\displaystyle g}$ jest pierwiastkiem pierwotnym modulo ${\displaystyle p,}$ to indeksem liczby naturalnej ${\displaystyle a}$ nazywana jest taka liczba ${\displaystyle k=\operatorname {ind} a,}$ że ${\displaystyle a\equiv g^{k}{\pmod {p}}}$^[1].

Dla liczb naturalnych ${\displaystyle a,b}$ oraz liczby pierwszej ${\displaystyle p}$

• ${\displaystyle \operatorname {ind} ab\equiv \operatorname {ind} a+\operatorname {ind} b{\pmod {p-1}},}$
• ${\displaystyle \operatorname {ind} {\frac {a}{b}}\equiv \operatorname {ind} a-\operatorname {ind} b{\pmod {p-1}},}$

gdzie przez ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ należy rozumieć rozwiązanie kongruencji ${\displaystyle bx\equiv a{\pmod {p}}}$^[1].

• Indeks pozwala na rozwiązywanie kongruencji ${\displaystyle ax^{n}\equiv b{\pmod {p}}}$ przez sprowadzenie jej do kongruencji liniowej ${\displaystyle \operatorname {ind} a+n\operatorname {ind} x\equiv \operatorname {ind} b{\pmod {p-1}}}$^[1].

• Pojęcie indeksu wprowadził C. F. Gauss w 1801 roku. W 1839 roku Carl Jacobi ułożył tablice indeksów dla wszystkich liczb pierwszych do 1000^[1].