Intuicjonistyczny rachunek zdań

Intuicjonistyczny rachunek zdań, INT, w wersji inwariantnej – rachunek zdaniowy w języku klasycznego rachunku zdań z regułą odrywania jako jedyną pierwotną regułą wnioskowania oraz aksjomatami następującej postaci:

Ax${\displaystyle _{1}}$    ${\displaystyle \alpha \to (\beta \to \alpha )}$	prawo poprzedzania
Ax${\displaystyle _{2}}$   ${\displaystyle [\alpha \to (\beta \to \gamma )]\to [(\alpha \to \beta )\to (\alpha \to \gamma )]}$	sylogizm Fregego
Ax${\displaystyle _{3}}$   ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \to \alpha }$	prawo opuszczania koniunkcji, 1.
Ax${\displaystyle _{4}}$   ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \to \beta }$	prawo opuszczania koniunkcji, 2.
Ax${\displaystyle _{5}}$   ${\displaystyle (\alpha \to \beta )\to [(\alpha \to \gamma )\to (\alpha \to \beta \wedge \gamma )]}$	prawo wprowadzania koniunkcji
Ax${\displaystyle _{6}}$   ${\displaystyle \alpha \to \alpha \vee \beta }$	prawo wprowadzania alternatywy, 1.
Ax${\displaystyle _{7}}$   ${\displaystyle \beta \to \alpha \vee \beta }$	prawo wprowadzania alternatywy, 2.
Ax${\displaystyle _{8}}$   ${\displaystyle (\beta \to \alpha )\to [(\gamma \to \alpha )\to (\beta \vee \gamma \to \alpha )]}$	prawo łączenia implikacji
Ax${\displaystyle _{9}}$   ${\displaystyle (\alpha \leftrightarrow \beta )\to (\alpha \to \beta )]}$	prawo opuszczania równoważności, 1.
Ax${\displaystyle _{10}}$   ${\displaystyle (\alpha \leftrightarrow \beta )\to (\beta \to \alpha )]}$	prawo opuszczania równoważności, 2.
Ax${\displaystyle _{11}}$   ${\displaystyle (\alpha \to \beta )\to [(\beta \to \alpha )\to (\alpha \leftrightarrow \beta )]}$	prawo wprowadzania równoważności
Ax${\displaystyle _{12}}$   ${\displaystyle \alpha \to (\neg \alpha \to \beta )}$	prawo przepełnienia
Ax${\displaystyle _{13}}$   ${\displaystyle (\alpha \to \neg \alpha )\to \neg \alpha }$	prawo redukcji do absurdu

Zwracamy uwagę na brak (silnego) prawa podwójnego przeczenia: ${\displaystyle \neg \neg p\to p,}$ którego dodanie do aksjomatyki INT tworzy aksjomatykę klasycznego rachunku zdań.

W rachunku intuicjonistycznym dowodliwe są m.in. następujące formuły:

1.	${\displaystyle p\to p}$	prawo identyczności
2.	${\displaystyle p\to \neg \neg p}$	słabe prawo podwójnego przeczenia
3.	${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$	słabe prawo kontrapozycji
4.	${\displaystyle (p\to \neg q)\to (q\to \neg p)}$	słabe prawo transpozycji
5.	${\displaystyle \neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg q\wedge \neg p)}$	prawo de Morgana, 2.
6.	${\displaystyle (p\to q)\to [(q\to s)\to (p\to s)]}$	prawo przechodniości
7.	${\displaystyle [p\to (q\to s)]\to (p\wedge q\to s)}$	prawo importacji
8.	${\displaystyle (p\wedge q\to s)\to [p\to (q\to s)]}$	prawo eksportacji

Dla przykładu zaprezentujemy dowód formuł 1. i 2. w rachunku INT:

Prawo identyczności

${\displaystyle p\to p}$

1.	${\displaystyle p\to [(p\to p)\to p]}$	Ax${\displaystyle _{1}}$
2.	${\displaystyle \{p\to [(p\to p)\to p]\}\to \{[p\to (p\to p)]\to (p\to p)\}}$	Ax${\displaystyle _{2}}$
3.	${\displaystyle [p\to (p\to p)]\to (p\to p)}$	reguła odrywania: 1,2
4.	${\displaystyle p\to (p\to p)}$	Ax${\displaystyle _{1}}$
5.	${\displaystyle p\to p}$	reguła odrywania: 3,4

Słabe prawo podwójnego przeczenia

${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

1.	${\displaystyle (\neg p\to \neg \neg p)\to \neg \neg p}$	Ax${\displaystyle _{13}}$
2.	${\displaystyle [(\neg p\to \neg \neg p)\to \neg \neg p]\to \{p\to [(\neg p\to \neg \neg p)\to \neg \neg p]\}}$	Ax${\displaystyle _{1}}$
3.	${\displaystyle p\to (\neg p\to \neg \neg p)\to \neg \neg p}$	reguła odrywania: 1,3
4.	${\displaystyle \{p\to [(\neg p\to \neg \neg p)\to \neg \neg p\}\to \{[p\to (\neg p\to \neg \neg p)]\to (p\to \neg \neg p)\}}$	Ax${\displaystyle _{2}}$
5.	${\displaystyle [p\to (\neg p\to \neg \neg p)]\to (p\to \neg \neg p)}$	reguła odrywania: 3,4
6.	${\displaystyle p\to (\neg p\to \neg \neg p)}$	Ax${\displaystyle _{12}}$
7.	${\displaystyle p\to \neg \neg p}$	reguła odrywania: 5,6

Narzędziem, które znakomicie przyspiesza proces dowodzenia, że pewne formuły są tezami INT jest następujące twierdzenie o dedukcji:

Twierdzenie o dedukcji

${\displaystyle \alpha \to \beta \in {\textrm {Cn}}_{i}(X)\;\;\iff \;\;\beta \in {\textrm {Cn}}_{i}(X\cup \{\alpha \})}$

gdzie ${\displaystyle {\textrm {Cn}}_{i}(X)}$ oznacza zbiór formuł dowodliwych w INT ze zbioru założeń ${\displaystyle X.}$

Jako ilustrację tego twierdzenia wykażemy dowodliwość w INT prawa przechodniości dla implikacji (p. 6. – wyżej):

1.	${\displaystyle q\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to q,\,q\to s,\,p\})}$	reguła odrywania: ${\displaystyle p\to q,\,p}$
2.	${\displaystyle s\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to q,\,q\to s,\,p\})}$	reguła odrywania: ${\displaystyle q\to s,\,q}$
3.	${\displaystyle p\to s\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to q,\,q\to s\})}$	twierdzenie o dedukcji
4.	${\displaystyle (q\to s)\to (p\to s)\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to q\})}$	twierdzenie o dedukcji
5.	${\displaystyle (p\to q)\to [(q\to s)\to (p\to s)]\in {\textrm {Cn}}_{i}(\emptyset )}$	twierdzenie o dedukcji

Dowód tego faktu bez użycia twierdzenia o dedukcji zajmuje ponad 20 linii.

Przestrzegamy przy tym, że użycie twierdzenia o dedukcji pokazuje, iż istnieje dowód danej formuły w rachunku INT, nie wskazując jednak tego dowodu explicite.

Twierdzenie o dedukcji w przedstawionej wyżej formie nazywa się także czasem klasycznym twierdzeniem o dedukcji w odróżnieniu od następującego uogólnionego twierdzenia o dedukcji:

Uogólnione twierdzenie o dedukcji

1. ${\displaystyle {\textrm {Cn}}_{i}(X\cup \{\alpha \lor \beta \})={\textrm {Cn}}_{i}(X\cup \{\alpha \})\cap {\textrm {Cn}}_{i}(X\cup \{\beta \})}$
2. ${\displaystyle {\textrm {Cn}}_{i}(X\cup \{\alpha \land \beta \})={\textrm {Cn}}_{i}(X\cup \{\alpha ,\beta \})}$
3. ${\displaystyle \neg \alpha \in {\textrm {Cn}}_{i}(X)\;\;\iff \;\;X\cup \{\alpha \}{\mbox{ jest sprzeczny}}}$

gdzie zbiór formuł jest sprzeczny oznacza, że można wywieść z niego dowolną formułę języka rachunku zdań.

jako przykład użycia tej wersji twierdzenia o dedukcji, wykażemy dowodliwość w INT prawa importacji (p. 7. – wyżej) oraz tzw. słabego prawa kontrapozycji: ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$

Prawo importacji

1.	${\displaystyle s\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to (q\to s),\,p,\,q\})={\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to (q\to s),\,p\land q\})}$
2.	${\displaystyle p\land q\to s\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to (q\to s)\})}$
3.	${\displaystyle [p\to (q\to s)]\to (p\land q\to s)\in {\textrm {Cn}}_{i}(\emptyset )}$

Słabe prawo kontrapozycji

1.	${\displaystyle q,\,\lnot q\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to q,\,\lnot q,\,p\})}$
2.	${\displaystyle \{p\to q,\,\lnot q,\,p\}{\mbox{ jest sprzeczny }}}$
3.	${\displaystyle \lnot p\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to q,\,\lnot q\})}$
4.	${\displaystyle \lnot q\to \lnot p\in {\textrm {Cn}}_{i}(\{p\to q\})}$
5.	${\displaystyle (p\to q)\to (\lnot q\to \lnot p)\in {\textrm {Cn}}_{i}(\emptyset )}$

Zarówno klasyczne twierdzenie o dedukcji, jak i jego uogólniona wersja prawdziwe są w klasycznym rachunku zdań.

• logika intuicjonistyczna
• semantyka algebraiczna
• semantyka Kripkego intuicjonistycznego rachunku zdań