Język zdaniowy

Język zdaniowy – trójka ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\langle {\textbf {P}},{\mathfrak {F}},\varsigma \rangle ,}$ gdzie:

${\displaystyle {\textbf {P}}}$ jest zbiorem nieskończonym,

${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ zbiorem rozłącznym z ${\displaystyle {\textbf {P}}}$

${\displaystyle \varsigma$ :{\mathfrak {F}}\to \mathbb {N} _{0}.}

Elementy zbioru ${\displaystyle {\textbf {P}}}$ są nazywane zmiennymi zdaniowymi, elementy zbioru ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ spójnikami języka ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ a ${\displaystyle \varsigma }$ jego sygnaturą.

Skończone ciągi elementów zbioru ${\displaystyle {\textbf {P}}\cup {\mathfrak {F}}}$ są nazywane napisami języka ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$

Najmniejszy (w sensie inkluzji) spośród zbiorów napisów zbiór ${\displaystyle Y}$ spełniający warunki:

${\displaystyle {\textbf {P}}\subseteq Y}$ (jednoelementowe napisy złożone ze zmiennych są w ${\displaystyle Y}$

(1)

${\displaystyle {\mathfrak {f}}\alpha _{1}\ldots \alpha _{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in Y,\quad \alpha _{1},\dots ,\alpha _{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in Y,\quad {\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}}$

(2)

nazywany jest zbiorem formuł języka ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ i oznaczany symbolem ${\displaystyle \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}}).}$

O zbiorach spełniających warunki (1) i (2) mówi się, że są domknięte na budowę formuł języka ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Innymi słowy zbiór ${\displaystyle \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}})}$ jest najmniejszym zbiorem napisów domkniętym na budowę formuł języka ${\displaystyle \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}}).}$

Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ będzie językiem zdaniowym.

Wówczas dla każdej formuły ${\displaystyle \delta }$ tego języka zachodzi jeden z warunków

${\displaystyle \delta \in \mathbf {P} }$

(3)

${\displaystyle \delta ={\mathfrak {f}}\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}$ dla pewnego ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}}$ oraz ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\in \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}})}$

(4)

Dla dowodu tego lematu należy rozważyć zbiór ${\displaystyle Y}$ formuł ${\displaystyle \delta }$ spełniających warunki (3) i (4) powyżej, a następnie pokazać, że jest on domknięty na budowę formuł.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ będzie językiem zdaniowym, niech ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n},\beta _{1},\dots ,\beta _{m}}$ będą formułami i niech ${\displaystyle {\mathfrak {f_{1}}},{\mathfrak {f_{2}}}\in {\mathfrak {F}}}$ będą takie, że ${\displaystyle {\mathfrak {f_{1}}}\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}={\mathfrak {f_{2}}}\beta _{1}\ldots \beta _{m}.}$

Wówczas ${\displaystyle {\mathfrak {f_{1}}}={\mathfrak {f_{2}}},\;n=m}$ oraz ${\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{1},\,\dots ,\,\alpha _{n}=\beta _{m}.}$

Lematy o kształcie formuł i jednoznaczności budowy pozwalają na indukcyjne zdefiniowanie pojęcia podformuły danej formuły oraz podstawienia w formule innej formuły w miejsce zmiennej:

Zbiorem podformuł formuły ${\displaystyle \delta }$ nazywamy zbiór zdefiniowany następująco:

${\displaystyle \mathbf {Sbf} (\delta )={\begin{cases}\delta ,&{\mbox{jeśli }}\delta \in \mathbf {P} \\\mathbf {Sbf} (\alpha _{1})\cup \ldots \cup \mathbf {Sbf} (\alpha _{n})\cup \{\delta \}&{\mbox{jeśli }}\delta ={\mathfrak {f}}\alpha _{1}\ldots \alpha _{n},\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.\end{cases}}}$

Zmiennymi formuły ${\displaystyle \delta }$ nazywamy elementy zbioru ${\displaystyle \mathbf {At} (\delta )=\mathbf {Sbf} (\delta )\cap \mathbf {P} .}$

Podstawieniem w formule ${\displaystyle \delta }$ formuły ${\displaystyle \varphi }$ w miejsce zmiennej ${\displaystyle s}$ nazywamy formułę:

${\displaystyle (\delta )[\varphi /s]={\begin{cases}p,&{\mbox{jeśli }}p\in \mathbf {P} \setminus \{s\}\\\varphi &{\mbox{jeśli }}p=s\\{\mathfrak {f}}(\alpha _{1}[\varphi /s])\ldots (\alpha _{n}[\varphi /s])&{\mbox{jeśli }}\delta ={\mathfrak {f}}\alpha _{1}\ldots \alpha _{n},\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.\end{cases}}}$

Zachodzi ${\displaystyle \delta [p/p]=\delta .}$ Jeśli ${\displaystyle p\notin \mathbf {At} (\delta ),}$ to ${\displaystyle \delta [\varphi /p]=\delta .}$

W wielu wypadkach przydaje się umiejętność jednoczesnego podstawienia kilku formuł w miejsce kilku zmiennych:

Podstawieniem w formule ${\displaystyle \delta }$ formuł ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$ w miejsce zmiennych ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{m}}$ nazywamy formułę:

${\displaystyle (\delta )[\varphi _{1}/s_{1},\dots ,\varphi _{m}/s_{m}]={\begin{cases}{p}&{{\mbox{jeśli }}p\in \mathbf {P} \setminus \{s_{1},\dots ,s_{m}\},}\\{\varphi _{j}}&{{\mbox{jeśli }}p=s_{j},\,j=1,\dots ,m,}\\{{\mathfrak {f}}(\alpha _{1}[\varphi _{1}/s_{1},\dots ,\varphi _{m}/s_{m}])\ldots (\alpha _{n}[\varphi _{1}/s_{1},\dots ,\varphi _{m}/s_{m}])}&{{\mbox{jeśli }}\delta ={\mathfrak {f}}\alpha _{1}\ldots \alpha _{n},\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.}\end{cases}}}$

Wynik podstawienia nie zależy od kolejności:

${\displaystyle (\delta )[\varphi _{1}/s_{1},\dots ,\varphi _{m}/s_{m}]=(\delta )[\varphi _{\pi (1)}/s_{\pi (1)},\dots ,\varphi _{\pi (m)}/s_{\pi (m)}]}$

dla dowolnej permutacji ${\displaystyle \pi }$ zbioru ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}.}$

Jeśli ${\displaystyle p,q\in \mathbf {At} (\delta )}$ i ${\displaystyle q\notin \mathbf {At} (\varphi ),}$ to:

${\displaystyle (\delta )[\varphi /p,\psi /q]={\big (}(\delta )[\varphi /p]{\big )}[\psi /q].}$

Przykład

${\displaystyle (\mathbf {CCNpqApq} )[\mathbf {KEpqNp} /\mathbf {p} ,\mathbf {CNpp} /\mathbf {q} ]}$	${\displaystyle =\mathbf {CCNKEpqNpCNppAKEpqNpCNpp} }$
${\displaystyle (\mathbf {CCNpqApq} )[\mathbf {KEpqNp} /\mathbf {p} ][\mathbf {CNpp} /\mathbf {q} ]}$	${\displaystyle =(\mathbf {CCNKEpqNpqAKEpqNpq} )[\mathbf {CNpp} /\mathbf {q} ]=}$
	${\displaystyle =\mathbf {CCNKEpCNppNpCNppAKEpCNppNpCNpp} }$

Język zdaniowy wyznacza dość ważną algebrę sygnatury ${\displaystyle \varsigma {:}}$

Algebrą formuł języka ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ nazywamy algebrę sygnatury tego języka ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{\mathcal {L}},}$ której uniwersum jest ${\displaystyle \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}})}$ i w której

${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{\mathcal {L}}({\mathfrak {f}})(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{\varsigma ({\mathfrak {f}})})={\mathfrak {f}}\alpha _{1}\ldots \alpha _{\varsigma ({\mathfrak {f}})},\qquad {\hbox{dla}}\;\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.}$

Algebra języka jest algebrą wolną z ${\displaystyle \mathbf {P} }$ jako zbiorem wolnych generatorów w klasie algebr jej sygnatury:

Dla dowolnej algebry ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ sygnatury języka ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ oraz dowolnego odwzorowania ${\displaystyle v\colon \mathbf {P} \to |{\mathfrak {C}}|}$ istnieje jedyny homomorfizm ${\displaystyle {\widehat {{\mathfrak {A}}_{\mathcal {L}},v}}\colon {\mathfrak {A}}_{\mathcal {L}}\to {\mathfrak {C}}}$ rozszerzający ${\displaystyle v.}$

W przypadku, gdy język jest ustalony w danym kontekście homomorfizm ten oznaczamy po prostu symbolem ${\displaystyle {\widehat {v}}.}$

Zauważmy, że ${\displaystyle (\delta )[\varphi /s]={\widehat {v}}(\delta ),}$ gdzie ${\displaystyle v\colon \mathbf {P} \to \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}})}$ dane jest wzorem:

${\displaystyle v(p)={\begin{cases}\varphi ,&p=s\\p,&p\in \mathbf {P} \setminus \{s\}.\end{cases}}}$

Co więcej, jeśli ${\displaystyle \mathbf {At} (\delta )=\{s_{1},\dots ,s_{n}\}}$ oraz ${\displaystyle v:\mathbf {P} \colon \to \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}}),}$ to:

${\displaystyle {\widehat {v}}(\delta )=(\delta )[v(s_{1})/s_{1},\dots ,v(s_{n})/s_{n}].}$

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zbiorem formuł języka ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$ Wówczas

${\displaystyle \mathbf {Sb} _{\mathcal {L}}(X)={\Big \{}{\widehat {v}}(\delta ):\delta \in X,\;v\colon \mathbf {P} \to \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}}){\Big \}}}$

Regułą podstawiania w języku ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ jest reguła:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\star }^{\mathcal {L}}={\Big \{}{\big \langle }\{\delta \},{\widehat {v}}(\delta ){\big \rangle }:\delta \in X,\;v\colon \mathbf {P} \to \mathbf {Frm} ({\mathcal {L}}){\Big \}}}$

W przypadku, gdy język jest ustalony, indeks górny jest pomijany.

• matryca logiczna
• rachunek zdaniowy

• Pogorzelski Witold, Elementarny słownik logiki formalnej, wyd. Filii UW, Białystok 1992.
• Pogorzelski Witold, Klasyczny rachunek zdań, Warszawa 1975.
• Hunter Geoffrey, Metalogika, Warszawa, PWN 1982.
• Shoenfield Joseph R., Mathematical Logic, Addison-Wesley, 1967.