Lemat Gaussa (teoria liczb)

Lemat Gaussa, kryterium Gaussa^[1] – lemat zadający warunki, które musi spełniać liczba całkowita, aby była resztą kwadratową modulo ${\displaystyle p}$, gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą. Pierwszy raz użył go Carl Friedrich Gauss w dowodzie prawa wzajemności reszt kwadratowych^[2].

Niech ${\displaystyle p>2}$ będzie liczbą pierwszą oraz ${\displaystyle a}$ będzie niepodzielne przez ${\displaystyle p}$. Rozważmy zbiór

${\displaystyle S=\{a,2a,3a,\dots ,\textstyle {\frac {p-1}{2}}a\}.}$

Niech ${\displaystyle v}$ będzie liczbą tych elementów zbioru ${\displaystyle S}$, które dają przy dzieleniu przez ${\displaystyle p}$ resztę większą od ${\displaystyle \textstyle {\frac {p-1}{2}}}$. Wówczas

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{v},}$

gdzie ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$ jest symbolem Legendre’a.

Rozważmy ${\displaystyle p=11}$ oraz ${\displaystyle a=7}$. Wówczas ${\displaystyle S=\{7,14,21,28,35\}.}$ Elementy zbioru ${\displaystyle S}$ dają kolejno reszty 7, 3, 10, 6 i 2 z dzielenia przez ${\displaystyle 11}$. Dokładnie trzy z nich są większe od ${\displaystyle \textstyle {\frac {11}{2}}}$, czyli ${\displaystyle v=3}$. Na mocy lematu Gaussa, otrzymujemy

${\displaystyle \left({\frac {7}{11}}\right)=(-1)^{3}=-1}$,

co jest prawdą, ponieważ 7 nie jest resztą kwadratową modulo 11. Są nimi tylko 0, 1, 3, 4, 5 oraz 9.

Dowód można przeprowadzić elementarnymi metodami, znajdując wartość wyrażenia

${\displaystyle Z=a\cdot 2a\cdot 3a\cdot \ldots \cdot \textstyle {\frac {p-1}{2}}a}$.

modulo ${\displaystyle p}$ dwoma sposobami.

Z jednej strony mamy

${\displaystyle Z=a^{(p-1)/2}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot \textstyle {\frac {p-1}{2}}\right)}$.

(1)

Z drugiej strony możemy zdefiniować wartość ${\displaystyle |x|}$ jako

${\displaystyle {\mid }x{\mid }={\begin{cases}{\phantom {-}}x&{\mbox{gdy }}1\leqslant (x{\mod p})\leqslant {\frac {p-1}{2}},\\-x&{\mbox{gdy }}{\frac {p+1}{2}}\leqslant (x{\mod p})\leqslant p-1.\end{cases}}}$

Skoro ${\displaystyle v}$ jest liczbą wielokrotności ${\displaystyle ka}$ dla ${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,\textstyle {\frac {p-1}{2}}}$, których reszty modulo ${\displaystyle p}$ spełniają drugi warunek powyższej definicji, mamy

${\displaystyle Z=(-1)^{v}\left(|a|\cdot |2a|\cdot |3a|\cdot \ldots \cdot \left|\textstyle {\frac {p-1}{2}}a\right|\right)}$.

Zauważmy teraz, że wartości ${\displaystyle |ka|}$ modulo ${\displaystyle p}$ są parami różne dla ${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,\textstyle {\frac {p-1}{2}}.}$ Istotnie ${\displaystyle |xa|\equiv |ya|{\pmod {p}}}$ implikuje ${\displaystyle xa\equiv ya{\pmod {p}}}$ lub ${\displaystyle xa\equiv -ya{\pmod {p}}}$. Jeśli ${\displaystyle xa\equiv ya{\pmod {p}}}$, to ${\displaystyle x\equiv y{\pmod {p}}}$, co daje ${\displaystyle x=y}$. Niemożliwe jest również ${\displaystyle xa\equiv -ya{\pmod {p}}}$, bo wynika stąd ${\displaystyle x+y\equiv 0{\pmod {p}}}$, a to nie zachodzi dla ${\displaystyle 1\leqslant x,y\leqslant \textstyle {\frac {p-1}{2}}}$.

Ponadto, ponieważ ${\displaystyle |x|}$ przyjmuje jedynie wartości ${\displaystyle 1,2,\dots ,\textstyle {\frac {p-1}{2}}}$ modulo ${\displaystyle p}$, a rozważanych wartości ${\displaystyle |ka|}$ jest dokładnie ${\displaystyle \textstyle {\frac {p-1}{2}}}$, ich reszty modulo ${\displaystyle p}$ stanowią permutację wartości ${\displaystyle 1,2,3,\dots ,\textstyle {\frac {p-1}{2}}}$. Zatem

${\displaystyle Z\equiv (-1)^{v}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right){\pmod {p}}}$.

(2)

Przyrównując prawe strony (1) i (2) oraz skracając przez ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot \textstyle {\frac {p-1}{2}}\not \equiv 0,}$ otrzymujemy

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-1)^{v}}$.

Teza wynika natychmiast z kryterium Eulera, ponieważ lewa strona jest innym sposobem wyrażenia symbolu Legendre’a.