Liczba epsilonowa

Liczba epsilonowa – liczba porządkowa ${\displaystyle \varepsilon }$ o tej własności, że

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }.}$

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdots }}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}.}$

Liczba ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ jest przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

${\displaystyle \varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{\omega },\dots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\dots ,\varepsilon _{\omega _{1}},\dots .}$

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\{\varepsilon _{0}+1,\varepsilon _{0}\cdot \omega ,{\varepsilon _{0}}^{\omega },{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\dots \}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots \}.}$

• Liczba ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$ jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ${\displaystyle \alpha }$ jest przeliczalna.
• Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
• Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
• Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli ${\displaystyle \varepsilon }$ jest liczbą epsilonową oraz ${\displaystyle \alpha ,\beta <\varepsilon ,}$ to ${\displaystyle \alpha +\beta <\varepsilon .}$
• Jeśli ${\displaystyle \varepsilon }$ jest liczbą epsilonową, to

(a) ${\displaystyle \beta +\varepsilon =\varepsilon }$ dla każdej liczby ${\displaystyle \beta <\varepsilon ,}$

(b) ${\displaystyle \beta \cdot \varepsilon =\varepsilon }$ dla każdej liczby ${\displaystyle 1\leqslant \beta <\varepsilon ,}$

(c) ${\displaystyle \beta ^{\varepsilon }=\varepsilon }$ dla każdej liczby ${\displaystyle 2\leqslant \beta <\varepsilon .}$

• Dowód twierdzenia Goodsteina.
• Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ takich, że ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\beta ^{\alpha }}$ (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność mają jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha }$ (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość ${\displaystyle \alpha \cdot \omega =(\alpha +1)\cdot \omega .}$ Istotnie, ${\displaystyle \alpha \cdot \omega \leqslant (\alpha +1)\cdot \omega \leqslant (\alpha +\alpha )\cdot \omega =(\alpha \cdot 2)\cdot \omega =\alpha \cdot (2\cdot \omega )=\alpha \cdot \omega .}$ Jeśli ${\displaystyle \varepsilon }$ jest dowolną liczbą epsilonową, to dla ${\displaystyle \alpha =\omega }$ oraz ${\displaystyle \beta =\varepsilon \cdot \omega }$ para ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ma żądaną własność. Istotnie:

${\displaystyle \beta ^{\alpha }=(\varepsilon \cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon }\cdot \omega )^{\omega }=(\omega ^{\varepsilon +1})^{\omega }=\omega ^{\varepsilon \cdot \omega }=\alpha ^{\beta }.}$

• liczba porządkowa Bachmanna-Howarda

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce
• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965. Brak numerów stron w książce