Liczba multichromatyczna

${\displaystyle \chi _{m}(G)\geqslant W(G),}$ gdzie ${\displaystyle W(G)}$ oznacza ważoną liczbę klikową grafu ${\displaystyle G}$ (tj. największą wagę kliki spośród wszystkich klik w ${\displaystyle G}$). Nierówność ta jest prawdziwa dla każdego grafu, gdyż w każdej klice do multikolorowania trzeba użyć co najmniej tylu kolorów, ile wynosi suma wag jej wierzchołków^[2].

Mimo istnienia prac na temat multikolorowania szczególnych rodzajów grafów, nie są znane dobre oszacowania liczby multichromatycznej z góry w przypadku ogólnym.

Wykorzystując wartość zwykłej liczby chromatycznej i wiedząc, że graf ${\displaystyle k}$-kolorowalny w sensie zwykłym, da się podzielić na ${\displaystyle k}$ zbiorów niezależnych, można oszacować liczbę multichromatyczną z góry przez ${\displaystyle k}$-krotność wagi najcięższego wierzchołka w grafie. W danym zbiorze niezależnym można legalnie pokolorować wierzchołki stosując dla każdego te same kolory; potrzeba do tego najwyżej tyle barw, ile wynosi waga najcięższego wierzchołka w grafie ${\displaystyle G.}$ Podobnie postępujemy dla każdego z ${\displaystyle k}$ zbiorów niezależnych, kolorując je na różne zestawy kolorów. Stąd ${\displaystyle \chi _{m}(G)\leqslant k\cdot max\{\omega (v):v\in V(G)\}}$^[2].

Powyższe oszacowanie ulepsza się na dwa sposoby. Pierwszym jest zastąpienie największej wagi w całym grafie największymi wagami wierzchołków w poszczególnych zbiorach niezależnych (oznaczanych ${\displaystyle V_{i}(G),}$ gdzie ${\displaystyle i=\{1,...,k\}}$). Stąd oszacowanie ${\displaystyle \chi _{m}(G)\leqslant \sum _{i=1}^{k}max\{\omega (v):v\in V_{i}(G)\}.}$

Drugi sposób wykorzystuje twierdzenie Brooksa (mówiące, że dla każdego grafu prostego zachodzi ${\displaystyle \chi (G)\leqslant \Delta (G)+1}$). Zastępując ${\displaystyle k}$ jego oszacowaniem, otrzymuje się następujące oszacowanie liczby multichromatycznej: ${\displaystyle \chi _{m}(G)\leqslant (\Delta (G)+1)max\{\omega (v):v\in V(G)\}}$^[2].

Nie są znane inne oszacowania w przypadku ogólnym^[2].

Dla grafów dwudzielnych znana jest dokładna wartość liczby multichromatycznej. Dla każdego ważonego grafu dwudzielnego ${\displaystyle G}$ zachodzi równość ${\displaystyle \chi _{m}(G)=W(G)}$^[3].

Powyższa równość jest prawdziwa także dla grafów doskonałych^[4].

Dla każdego ważonego cyklu ${\displaystyle C_{k}}$ o wierzchołkach ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}}$ z funkcją wagi ${\displaystyle \omega }$ zachodzi równość: ${\displaystyle \chi _{m}(C_{k})={\begin{cases}W(C_{k})&{\text{dla }}k=2m\\max\left\{W(C_{k}),\left\lceil {\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{k}\omega (v_{i})\right\rceil \right\}&{\text{dla }}k=2m+1\end{cases}}}$^[3].

Dla każdego grafu planarnego ${\displaystyle G}$ zachodzi nierówność ${\displaystyle \chi _{m}(G)\leqslant \left\lceil {\frac {11}{6}}W(G)\right\rceil }$^[5].