Macierz Vandermonde’a

Macierz Vandermonde’a – macierz kwadratowa ${\displaystyle n\times n}$ postaci:

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{matrix}}\right).}$

Wyznacznik tej macierzy nazywany jest wyznacznikiem Vandermonde’a i jest wielomianem postaci:

${\displaystyle \det A=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{j}-x_{i}).}$

Przykład: Macierz

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&1&1&1\\1&2&4&8\\1&3&9&27\\1&4&16&64\end{matrix}}\right)}$

jest macierzą Vandermonde’a. Jej wyznacznik jest równy

${\displaystyle \det A=(x_{2}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{1})\cdot (x_{4}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{2})\cdot (x_{4}-x_{2})\cdot (x_{4}-x_{3})=1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12}$

Macierz Vandermonde’a pozwala udowodnić następujące twierdzenie o jednoznaczności wielomianu interpolacyjnego: Dla dowolnego zbioru różnych punktów: ${\displaystyle \{(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})\}}$ istnieje dokładnie jeden wielomian ${\displaystyle W(x)}$ o stopniu mniejszym niż ${\displaystyle n}$ i taki, że dla każdego ${\displaystyle ky_{k}=W(x_{k}).}$

Dowód:

Ponieważ punkty są różne, to wyznacznik macierzy Vandermonde’a stworzonej z punktów ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})}$ jest różny od 0, więc macierz jest odwracalna. Niech ${\displaystyle V}$ oznacza tę macierz. Rozwiązanie układu równań:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})^{T}=V^{-1}(y_{0},y_{1},\dots ,y_{n-1})^{T}}$

pozwala na wyliczenie współczynników wielomianu.

Stosując metodę eliminacji Gaussa można rozwiązać ten układ w czasie ${\displaystyle O(n^{3}).}$ Zastosowanie postaci Lagrange’a wielomianu interpolacyjnego

${\displaystyle W(x)=\sum _{k=0}^{n-1}y_{k}{\frac {\prod _{i\neq k}(x-x_{i})}{\prod _{i\neq k}(x_{k}-x_{i})}}}$

pozwala na wykonanie tego w czasie ${\displaystyle O(n^{2}).}$

• interpolacja
• macierz odwrotna
• macierz transponowana
• metoda eliminacji Gaussa
• metoda LU

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Vandermonde Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).