Macierze Reesa

Macierze Reesa – obiekty matematyczne ważne w teorii półgrup. Zostały wprowadzone przez Davida Reesa w 1940 roku. Znajdują one zastosowanie przy charakteryzacji półgrup całkowicie 0-prostych, którą daje twierdzenie Reesa.

Niech ${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle \Lambda }$ będą zbiorami oraz niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą. Określimy półgrupę ${\displaystyle G^{0}}$ w następujący sposób. Niech ${\displaystyle 0\notin G.}$ Oznaczamy ${\displaystyle G^{0}=G\cup \{0\}}$ i dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in G^{0}}$ określamy działanie ${\displaystyle \cdot }$ za pomocą formuły

${\displaystyle a\cdot b={\begin{cases}ab,&{\mbox{ jeśli }}a,b\in G,\\0,&{\mbox{ w przeciwnym wypadku,}}\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle ab}$ oznacza iloczyn ${\displaystyle a}$ przez ${\displaystyle b}$ w grupie ${\displaystyle G.}$ Parę ${\displaystyle (G^{0},\cdot )}$ nazywamy grupą z zerem. Działanie ${\displaystyle \cdot }$ jest łączne, więc ${\displaystyle G^{0}}$ jest półgrupą. W dalszym ciągu nie będziemy rozróżniać między ${\displaystyle \cdot }$ a mnożeniem w ${\displaystyle G.}$

Dowolne przekształcenie ${\displaystyle A:I\times \Lambda \longrightarrow G^{0}}$ nazywamy ${\displaystyle I\times \Lambda }$-macierzą nad ${\displaystyle G^{0}.}$ Wartość pary ${\displaystyle (i,\lambda )\in I\times \Lambda }$ przy przekształceniu ${\displaystyle A}$ oznaczamy symbolem ${\displaystyle a_{i\lambda }}$

${\displaystyle I\times \Lambda }$-macierz ${\displaystyle A}$ nad grupą z zerem ${\displaystyle G^{0}}$ nazywamy ${\displaystyle I\times \Lambda }$-macierzą Reesa nad ${\displaystyle G^{0},}$ jeżeli w zbiorze ${\displaystyle I\times \Lambda }$ istnieje dokładnie jedna para ${\displaystyle (i,\lambda ),}$ taka że ${\displaystyle a_{i\lambda }=g\in G.}$ Przyjmujemy oznaczenie ${\displaystyle (g)_{i\lambda }=A.}$

Niech ${\displaystyle P}$ będzie dowolną ${\displaystyle \Lambda \times I}$-macierzą nad półgrupą z zerem ${\displaystyle G^{0}.}$ Na zbiorze wszystkich ${\displaystyle I\times \Lambda }$-macierzy Reesa nad ${\displaystyle G^{0}}$ definiuje się działanie ${\displaystyle \odot }$ w następujący sposób

${\displaystyle (g)_{i\lambda }\odot (h)_{j\mu }=(gp_{\lambda j}h)_{i\mu }}$

dla dowolnych ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ i ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \Lambda .}$ Działanie ${\displaystyle \odot }$ jest łączne, zatem zbiór wszystkich ${\displaystyle I\times \Lambda }$-macierzy nad Reesa ${\displaystyle G^{0}}$ z działaniem ${\displaystyle \odot }$ jest półgrupą. Oznaczamy ją symbolem ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{0}(G;I,\Lambda ;P).}$

Mówimy, że ${\displaystyle \Lambda \times I}$-macierz ${\displaystyle P}$ jest regularna, jeżeli

• dla każdego ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ istnieje ${\displaystyle i\in I,}$ takie że ${\displaystyle p_{\lambda i}\in G,}$
• dla każdego ${\displaystyle i\in I}$ istnieje ${\displaystyle \lambda \in \Lambda ,}$ takie że ${\displaystyle p_{\lambda i}\in G.}$

Okazuje się, że ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{0}(G;I,\Lambda ;P)}$ jest półgrupą regularną wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle P}$ jest regularna.

• Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
• Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.