Miara bezatomowa

Miara bezatomowa – taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.

Dla każdego ${\displaystyle \mu }$-mierzalnego zbioru ${\displaystyle A}$ można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów ${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \ldots }$ taką, że

${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\ldots >0.}$

jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.

Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:

Dla dowolnego zbioru mierzalnego ${\displaystyle A}$ takiego, że ${\displaystyle \mu (A)>0}$ i dla każdej liczby rzeczywistej ${\displaystyle 0<b<\mu (A)}$ istnieje taki podzbiór ${\displaystyle B\subsetneq A,}$ że ${\displaystyle \mu (B)=b.}$

Skąd można wnioskować, że ${\displaystyle \mu }$ przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.

Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.

• miara zupełna

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001. Brak numerów stron w książce