Miotełka Knastera-Kuratowskiego

Miotełka Knastera-Kuratowskiego (lub miotełka Kuratowskiego) – przykład punktokształtnej spójnej przestrzeni topologicznej, która po usunięciu pewnego punktu jest (jako podprzestrzeń) dziedzicznie niespójna, ale nie całkowicie niespójna. Przestrzeń ta została skonstruowana w 1921 przez Kazimierza Kuratowskiego i Bronisława Knastera^[1].

Niech ${\displaystyle C}$ będzie zbiorem Cantora zawartym w odcinku ${\displaystyle [0,1]\times \{0\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ oraz niech ${\displaystyle p=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right).}$ Dla każdego punktu ${\displaystyle c\in C}$ niech ${\displaystyle L(c)}$ oznacza odcinek łączący punkt ${\displaystyle p}$ z punktem ${\displaystyle c.}$ Jeśli ${\displaystyle c\in C}$ jest końcem pewnego przedziału usuwanego podczas konstrukcji zbioru Cantora, to niech

${\displaystyle X_{c}=\{(x,y)\in L(c)\colon \,y\in \mathbb {Q} \},}$

oraz

${\displaystyle X_{c}=\{(x,y)\in L(c)\colon y\notin \mathbb {Q} \}}$

dla pozostałych punktów. Przestrzeń

${\displaystyle M=\bigcup _{c\in C}X_{c}}$

nazywana jest miotełką Kuratowskiego. Przestrzeń ${\displaystyle M}$ jest spójna, ale ${\displaystyle M\setminus \{p\}}$ jest dziedzicznie niespójna.

• Ryszard Engelking: Teoria wymiaru. Warszawa: PWN, 1977, s. 37.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 458.