Moduł ściśliwości

Moduł ściśliwości (współczynnik ściśliwości) określa odporność na zmianę objętości ciała pod wpływem zmiany ciśnienia. Formalnie współczynnik ściśliwości można zdefiniować jako:

${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial p}},}$

gdzie:

${\displaystyle p}$ – ciśnienie,

${\displaystyle V}$ – objętość.

Znak minus pochodzi stąd, że zwiększanie ciśnienia powoduje zmniejszanie objętości ciała i z tego powodu pochodna jest ujemna. Dla gazu doskonałego współczynnik ściśliwości zależy od ciśnienia. Zależność ta jest różna dla różnych przemian gazowych.

W przemianie izotermicznej

${\displaystyle pV={\text{const}}.}$

Po zróżniczkowaniu

${\displaystyle p\partial V+V\partial p=0,}$

${\displaystyle p\partial V=-V\partial p,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial p}}=-{\frac {V}{p}}.}$

Podstawiając to wyrażenie do wzoru definiującego ${\displaystyle \beta ,}$ dostaniemy

${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{V}}\cdot \left(-{\frac {V}{p}}\right)={\frac {1}{p}}.}$

W przemianie adiabatycznej:

${\displaystyle pV^{\kappa }={\text{const}},}$

gdzie:

${\displaystyle \kappa }$ – wykładnik adiabaty (stosunek ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości).

Wyrażenie to można zlogarytmować

${\displaystyle \ln p+\kappa \ln V={\text{const}},}$

a następnie wyznaczyć różniczkę

${\displaystyle {\frac {\partial p}{p}}+\kappa {\frac {\partial V}{V}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{p}}=-\kappa {\frac {\partial V}{V}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial p}}=-{\frac {1}{\kappa }}{\frac {V}{p}},}$

skąd

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\kappa p}}.}$

Dla gazów jest używana także inna wielkość zwana współczynnikiem ściśliwości (współczynnik kompresji) – jest to wielkość bezwymiarowa określająca odchylenie zachowania gazu rzeczywistego od gazu doskonałego.

• współczynnik sprężystości objętościowej