Moduł wolny generowany przez zbiór

R-moduł wolny generowany przez zbiór ${\displaystyle X}$ albo suma prosta R nad X – zbiór funkcji ${\displaystyle f\colon X\to R}$ w pierścień ${\displaystyle R,}$ które przyjmują niezerową wartość tylko dla skończonej liczby swoich argumentów. Oznacza się go zwykle ${\displaystyle \bigoplus _{X}R,}$ ${\displaystyle \bigsqcup _{X}R}$ lub ${\displaystyle F(X).}$ Wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo tworzy moduł nad ${\displaystyle R.}$

Niech ${\displaystyle R}$ będzie pierścieniem, a ${\displaystyle X}$ – dowolnym zbiorem. Rozpatrzmy funkcje postaci ${\displaystyle f\colon X\to R.}$ Nośnikiem ${\displaystyle f}$ nazwiemy zbiór

${\displaystyle \mathrm {supp} f:=\{x\in X;\ f(x)\neq 0\}.}$

Zbiór funkcji ${\displaystyle f\colon X\to R}$ o skończonym nośniku nazywamy ${\displaystyle R}$-modułem wolnym generowanym przez ${\displaystyle X}$ albo sumą prostą ${\displaystyle R}$ nad ${\displaystyle X}$ i oznaczamy ${\displaystyle \bigoplus _{X}R,}$ ${\displaystyle \bigsqcup _{X}R}$ lub ${\displaystyle F(X).}$ Zbiór ${\displaystyle \bigoplus _{X}R}$ tworzy moduł nad ${\displaystyle R}$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

Dowolną funkcję ${\displaystyle f\in \bigoplus _{X}R}$ możemy jednoznacznie przedstawić w postaci

${\displaystyle f(y)=\sum _{x\in X}f(x)\delta _{x}(y)}$

dla każdego ${\displaystyle y\in X,}$ gdzie ${\displaystyle \delta _{x}\colon X\to R}$ jest zdefiniowane wzorem

${\displaystyle \delta _{x}(y):={\begin{cases}1&\mathrm {gdy} \ y=x\\0&\mathrm {gdy} \ y\neq x.\end{cases}}}$

Wynika z tego, że funkcje ${\displaystyle \delta _{x}}$ rozpinają moduł ${\displaystyle \bigoplus _{X}R.}$ Funkcje ${\displaystyle \delta _{x}}$ bardzo często utożsamia się z ${\displaystyle x}$ i zapisuje po prostu jako ${\displaystyle x.}$ Wówczas funkcję ${\displaystyle f}$ można zapisać jako

${\displaystyle f=\sum _{x\in X}f(x)x\quad \mathrm {lub} \quad f=\sum _{x\in X}f_{x}x.}$

• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

• Z. Opial: Algebra Wyższa. PWN, 1970. Brak numerów stron w książce

• Clifford algebra, geometric algebra, and applications