Nierówności Bernsteina

Nierówności Bernsteina – nierówności pojawiające się w rachunku prawdopodobieństwa. Ich nazwa pochodzi od nazwiska radzieckiego matematyka, Siergieja Bernsteina.

Niech ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi na przestrzeni ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ o tym samym rozkładzie takimi, że ${\displaystyle |X_{i}|\leqslant K,{\mbox{E}}X_{i}=0,{\mbox{E}}X_{i}^{2}=\sigma ^{2}}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle K\geqslant 0}$ oraz wszystkich liczb naturalnych ${\displaystyle i\leqslant n.}$ Wówczas, prawdziwa jest następująca nierówność, zwana nierównością Bernsteina:

${\displaystyle P{\bigg (}{\Big |}X_{1}+\ldots +X_{n}{\Big |}>t\sigma {\sqrt {n}}{\bigg )}\leqslant 2\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\frac {1}{1+{\frac {Kt}{3\sigma {\sqrt {n}}}}}}\right).}$

Jeśli ${\displaystyle S_{n}}$ jest liczbą sukcesów w schemacie ${\displaystyle n}$ prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu ${\displaystyle p,}$ to dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle P\left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-p\right|>\varepsilon \right)\leqslant 2e^{-{\frac {n\varepsilon ^{2}}{4}}}.}$

Szczególnym przypadkiem tej nierówności jest tzw. symetryczna nierówność Bernsteina, która mówi, że jeżeli ${\displaystyle (U_{n})}$ jest ciągiem Bernoulliego, to

${\displaystyle P\left({\frac {U_{1}+\ldots +U_{n}}{\sqrt {n}}}>r\right)\leqslant e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}.}$

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. Brak numerów stron w książce

• Bernstein inequality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].