Nierówność Grönwalla

Nierówność Grönwalla (lemat Grönwalla^[1]; nierówność Grönwalla–Bellmana^[2]) – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana jest m.in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, T.H. Grönwalla, w 1918 r.^[3]

Niech ${\displaystyle (a,b)}$ będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech ${\displaystyle t_{0}\in (a,b).}$ Niech ponadto ${\displaystyle \alpha ,\beta ,u}$ będą funkcjami ciągłymi określonymi na ${\displaystyle (a,b)}$ o wartościach w ${\displaystyle R_{+}.}$ Jeżeli dla każdego ${\displaystyle t\in (a,b)}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s\right|,}$

to dla każdego ${\displaystyle t\in (a,b)}$ zachodzi również

${\displaystyle u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.}$

Poniższy dowód podał J. A. Oguntuase^[4]:

Niech

${\displaystyle v(t)=\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s){\mbox{d}}s.}$

Wówczas

${\displaystyle v'(t)=\beta (t)u(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\mbox{d}}s\right|=\alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\cdot \operatorname {sgn}(t-t_{0})v(t).}$

Ponadto, niech

${\displaystyle \gamma (t)=e^{-\int _{t_{0}}^{t}\operatorname {sgn}(s-t_{0})\beta (s)\,\mathrm {d} s}.}$

Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez ${\displaystyle \gamma (t)}$ otrzymujemy

${\displaystyle \gamma (t)v'(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)\gamma (t)-v(t)\gamma '(t).}$

Ostatecznie,

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}(\gamma (t)v(t))-\alpha (t)\beta (t)\gamma (t)\leqslant 0.}$

Wynika z powyższego, iż

${\displaystyle \operatorname {sgn}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma (s)v(s))-\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,\mathrm {d} s\leqslant 0.}$

Czyli

${\displaystyle \operatorname {sgn}(t-t_{0})\gamma (t)v(t)\leqslant \operatorname {sgn}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\mbox{d}}s.}$

Ostatecznie,

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s\right|\\&=\alpha (t)+\operatorname {sgn}(t-t_{0})v(t)\\&\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s){\frac {\gamma (s)}{\gamma (t)}}\,{\mbox{d}}s\right|\\&=\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.\end{aligned}}}$

Niech ${\displaystyle I=[a,b]}$ będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy ${\displaystyle a<b.}$ Niech ${\displaystyle \beta }$ i ${\displaystyle u}$ będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku ${\displaystyle I.}$ Jeżeli ${\displaystyle u}$ jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu ${\displaystyle {\text{int}}\,I=(a,b)}$ oraz zachodzi szacowanie ${\displaystyle u'(t)\leqslant \beta (t)u(t)}$ dla wszystkich ${\displaystyle t\in (a,b),}$ to zachodzi nierówność ${\displaystyle u(t)\leqslant u(a)\cdot \exp \left(\int _{a}^{t}\beta (s)\mathrm {d} s\right)}$ dla wszystkich ${\displaystyle t\in I=[a,b].}$