Nierówność Melchiora

Nierówność Melchiora – nierówność kombinatoryczna wykorzystywana w geometrii algebraicznej i geometrii rzutowej, przypisywana Melchiorowi^[1][2].

Niech ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$ będzie rzeczywistą płaszczyzną rzutową^[2][3]. Niech ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ będzie konfiguracją ${\displaystyle d}$ prostych rzutowych płaszczyzny rzutowej ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} ).}$ Niech ${\displaystyle t_{k}}$ oznacza liczbę punktów ${\displaystyle k}$-krotnych^[4]. Jeśli konfiguracja ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ nie jest pękiem, to prawdziwa jest nierówność, zwana nierównością Melchiora^[3][5][4]:

${\displaystyle t_{2}\geqslant 3+\sum _{k\geqslant 4}(k-3)t_{k}.}$

Dowód nierówności Melchiora jest wykorzystywany jest również jako dowód twierdzenia Sylvestera-Gallai^[1][5]. Nierówność Melchiora stanowi twierdzenie silniejsze od twierdzenia Sylvestera-Gallai^[5], które szacuje jedynie (przy powyższych założeniach), że ${\displaystyle t_{2}\geqslant 1}$^[5].

• nierówność Hirzebrucha