Operator liczby cząstek

Operator liczby cząstek – dla układów, w których liczba rozpatrywanych cząstek nie jest znana, operator liniowy (obserwabla) „zliczający” ich liczbę.

Formalnie, jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest przestrzenią Hilberta, to operatorem liczby cząstek ${\displaystyle N}$ na przestrzeni Focka ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})}$ nazywa się operator

${\displaystyle N\colon {\mbox{dom}}\,N\subset \Gamma ({\mathcal {H}})\to \Gamma ({\mathcal {H}}),\ \ Nu=(nu_{n})_{n=0}^{\infty },}$

gdzie ${\displaystyle u=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }u_{n},\quad u_{n}\in {\cal {H}}^{\otimes n}}$.^[1]

Dziedziną dom N jest podprzestrzeń liniowa

${\displaystyle \left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n=0}^{\infty }n^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}$

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).}$ Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek ${\displaystyle {\sqrt {N}}.}$

Zbiór ${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})}$ (zob. przestrzeń skończonej liczby cząstek w artykule przestrzeń Foka) jest dziedziną istotną tego operatora, tzn. operator liczby cząstek jest domknięciem obcięcia operatora ${\displaystyle N}$ do zbioru ${\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}}).}$ W szczególności, dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} ,}$ operator ${\displaystyle f(N)}$ jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

${\displaystyle f(N)u=(f(n)u_{n})_{n=0}^{\infty },}$

gdzie:

${\displaystyle {\mbox{dom}}~f(N)=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n=0}^{\infty }n^{2}|f(n)|^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}$

Średnią operatora liczby cząstek ‹ N › opisują rozkłady statystyczne w mechanice kwantowej:

• statystyka Bosego-Einsteina w przypadku bozonów,
• statystyka Fermiego-Diraca w przypadku fermionów.

W przypadku stanów Foka operatory kreacji i anihilacji odpowiednio zwiększają i zmniejszają liczbę cząstek (tzn. wartość średnią operatora liczby cząstek) o jeden. Jednak w przypadku superpozycji stanów Focka absorpcja bozonu może zwiększyć liczbę cząstek, w tym o liczbę niecałkowitą. To samo tyczy się kreacji bozonu. W ogólności absorpcja bozonu, a następnie kreacja bozonu powoduje, że liczba cząstek jest inna, niż przed absorpcją. Co więcej liczba cząstek po kreacji bozonu i następnej absorpcji będzie inna niż po absorpcji bozonu i następnej kreacji^[2][3].

• Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.). Brak numerów stron w książce
• J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005. ISBN 978-3540244066. (ang.). Brak numerów stron w książce