Prawa rachunku kwantyfikatorów

• prawo dictum de omni – „orzekania o wszystkim”

${\displaystyle \forall \phi (x)\Rightarrow \phi (x)}$

• prawo generalizacji egzystencjalnej

${\displaystyle \phi (x)\Rightarrow \exists \phi (x)}$

• prawo subalternacji

${\displaystyle \forall \phi (x)\Rightarrow \exists \phi (x)}$

• prawa zmiany zmiennych związanych

${\displaystyle \forall \phi (x)\Leftrightarrow \forall \phi (y)}$

${\displaystyle \exists \phi (x)\Leftrightarrow \exists \phi (y)}$

• prawa De Morgana (negowania kwantyfikatorów)

${\displaystyle \neg \forall x\phi (x)\Leftrightarrow \exists x\neg \phi (x)}$

${\displaystyle \neg \exists x\phi (x)\Leftrightarrow \forall x\neg \phi (x)}$

• przemienność:

kwantyfikatora ogólnego

${\displaystyle \forall x\forall y\phi (x,y)\Leftrightarrow \forall y\forall x\phi (x,y)}$

kwantyfikatora egzystencjalnego

${\displaystyle \exists x\exists y\phi (x,y)\Leftrightarrow \exists y\exists x\phi (x,y)}$

• Przeniesienie kwantyfikatora egzystencjalnego za ogólny (nie odwrotnie!)

${\displaystyle \exists x\forall y\phi (x,y)\Rightarrow \forall y\exists x\phi (x,y)}$

→ Kontrprzykład: gdy ф(x,y) jest postaci: x<y (x,y należy do rzeczywistych)

• rozdzielność względem koniunkcji:

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\land \psi (x))\Leftrightarrow \forall x\phi (x)\land \forall x\psi (x)}$

• rozdzielność względem alternatywy:

${\displaystyle \exists x(\phi (x)\lor \psi (x))\Leftrightarrow \exists x\phi (x)\lor \exists x\psi (x)}$

• brak rozdzielności:

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\lor \psi (x))\Leftarrow \forall x\phi (x)\lor \forall x\psi (x)}$

→ Kontrprzykład: gdy ф(x) prawdziwe dla x>2, Ψ(x) prawdziwe dla x≤2

${\displaystyle \exists x\phi (x)\land \exists x\psi (x)\Leftarrow \exists x(\phi (x)\land \psi (x))}$

→ Kontrprzykład: gdy ф(x) prawdziwe dla x=1, Ψ(x) prawdziwe dla x=2

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\Rightarrow \psi (x))\Rightarrow \forall x\phi (x)\Rightarrow \forall x\psi (x)}$

→ Kontrprzykład: gdy ф(x) prawdziwe dla x>2, Ψ(x) prawdziwe dla x≤2

• kwantyfikator
• kwantyfikator ogólny
• kwantyfikator egzystencjalny