Presnop

Presnopem określonym na przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ nazywamy funkcję ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ określoną na rodzinie ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ wszystkich podzbiorów otwartych tej przestrzeni, taką że dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle U,V\in {\mathfrak {O}},U\subset V}$ określona jest funkcja

${\displaystyle \rho _{U}^{V}:{\mathcal {F}}(V)\to {\mathcal {F}}(U)}$

o własnościach:

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\varnothing )}$ składa się z jednego elementu,
2. ${\displaystyle \rho _{U}^{U}=\operatorname {Id} _{U}}$ (${\displaystyle \rho _{U}^{U}}$ jest przekształceniem tożsamościowym na ${\displaystyle U}$),
3. dla dowolnych zbiorów otwartych ${\displaystyle U\subset V\subset W{:}}$ ${\displaystyle \rho _{U}^{W}=\rho _{U}^{V}\circ \rho _{V}^{W}}$^[1].

Czasem taki presnop oznacza się przez ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ Jeśli istotne jest podkreślenie, że funkcja ${\displaystyle \rho _{U}^{V}}$ jest związana z presnopem ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ to stosowane jest oznaczenie ${\displaystyle \rho _{U,{\mathcal {F}}}^{V}.}$ Funkcja ${\displaystyle \rho _{U}^{V}}$ jest nazywana odwzorowaniem ograniczenia.

Jeśli wszystkie zbiory ${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)}$ są grupami, modułami nad ustalonym pierścieniem, albo pierścieniami, a odwzorowania ${\displaystyle \rho _{U}^{V}}$ są homomorfizmami tych struktur algebraicznych, to presnop nazywany jest odpowiednio presnopem grup, modułów, albo pierścieni^[1].

• Presnop grup abelowych można zdefiniować jako funktor kontrawariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni ${\displaystyle X}$ w kategorię grup abelowych^[2].
• Można definiować presnop jako funktor kowariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni ${\displaystyle X}$ w dowolną kategorię^[2].

• Jeśli ${\displaystyle M}$ jest zbiorem, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ jest zbiorem wszystkich funkcji na ${\displaystyle U}$ o wartościach w ${\displaystyle M}$ oraz ${\displaystyle \rho _{U}^{V}(f)=f|_{U}}$ dla ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(V),}$ to ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest nazywany presnopem wszystkich funkcji na ${\displaystyle X}$^[1].
• Jeśli ${\displaystyle M}$ jest przestrzenią topologiczną, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na ${\displaystyle U}$ o wartościach w ${\displaystyle M,}$ a ${\displaystyle \rho _{U}^{V}}$ jest określone tak, jak w poprzednim przykładzie, to ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest nazywany presnopem funkcji ciągłych na ${\displaystyle X}$^[1].
• Każdy presnop generuje pewien snop^[2]. Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie presnopem na przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X.}$ Dla każdego zbioru otwartego ${\displaystyle U\subset X}$ niech ${\displaystyle U\times {\mathcal {F}}(U)}$ będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych: ${\displaystyle U}$ z topologią indukowaną przez topologię ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ z topologią dyskretną. Niech ${\displaystyle E=\bigsqcup _{U\subset X}(U\times {\mathcal {F}}(U))}$ będzie sumą rozłączną tych przestrzeni, gdzie ${\displaystyle U}$ przebiega zbiór wszystkich zbiorów otwartych w ${\displaystyle X.}$ Na tej przestrzeni można określić relację równoważności ${\displaystyle R{:}}$

dla ${\displaystyle (x,s)\in U\times {\mathcal {F}}(U)}$ i ${\displaystyle (y,t)\in V\times {\mathcal {F}}(V){:}}$

${\displaystyle (x,s)R(y,t)\Leftrightarrow (x=y\land \exists _{x\in W\subset U\cap V}\rho _{W}^{U}(s)=\rho _{W}^{V}(t)).}$

Wtedy przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle {\mathfrak {F}}={\mathcal {F}}/R}$ z rzutowaniem ${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {F}}\to X} indukowanym przez rzutowanie ${\displaystyle p:E\to X}$ określone wzorem ${\displaystyle p(x,s)=x}$ jest snopem na ${\displaystyle X}$ nazywanym snopem generowanym przez presnop ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

• Istnieją presnopy, które nie są snopami^[1].