Przestrzeń Frécheta (topologia)

Przestrzeń Frécheta (także przestrzeń Frécheta-Uryshona) – w topologii ogólnej, przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ o tej własności, że dla każdego podzbioru ${\displaystyle A\subseteq X,}$ punkt ${\displaystyle x\in X}$ należy do domknięcia zbioru ${\displaystyle A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu elementów zbioru ${\displaystyle A,}$ tj. istnieje taki ciąg

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc \in A,}$

że

${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$^[1].

Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska francuskiego matematyka Maurice’a Frécheta, który rozważał abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych. W matematyce istnieją także inne znaczenia terminu przestrzeń Frécheta (dawniej określano nim przestrzenie T₁; w analizie funkcjonalnej termin ten funkcjonauje w kontekście pewnej klasy przestrzeni liniowo-topologicznych).

• Każda przestrzeń spełniająca pierwszy aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Frécheta^[1].
• Podprzestrzeń przestrzeni Frécheta jest przestrzenią Frécheta^[2].
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni Frécheta nie musi być przestrzenią Frécheta^[3][4].
• Każde przekształcenie ilorazowe ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ na przestrzeń Frécheta ${\displaystyle Y,}$ w której każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę (a więc w szczególności na T₂-przestrzeń Frécheta), jest dziedzicznie ilorazowe^[5].

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976.