Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa

Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która nie jest WCG, ale jej przestrzeń sprzężona jest WCG. Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwisk W.B. Johnsona i J. Lindenstrussa, którzy podali jej konstrukcję w 1974^[1].

Niech ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ będzie rodziną mocy continuum złożoną z podzbiorów zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla dowolnych dwóch różnych ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ część wspólna ${\displaystyle A\cap B}$ jest skończona. Niech ${\displaystyle V}$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ generowaną przez podprzestrzeń c₀ oraz rodzinę funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Każdy element ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ ma zatem jednoznaczne przedstawienie w postaci skończonej sumy

${\displaystyle x=y+\sum _{k=1}^{n}a_{A_{k}}\mathbf {1} _{A_{k}}}$

(1)

dla pewnych ${\displaystyle y\in c_{0},}$ zbiorów ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {B}}}$ oraz skalarów ${\displaystyle a_{A_{1}},\dots ,a_{A_{n}}.}$ Wzór

${\displaystyle \|x\|_{\mathrm {JL} _{2}}=\max {\big \{}\|x\|_{c_{0}},{\Big (}\sum _{k=1}^{n}|a_{A_{k}}|^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}{\big \}}}$

określa normę w przestrzeni ${\displaystyle V.}$ Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}}$ to uzupełnienie przestrzeni unormowanej ${\displaystyle (V,\|{\cdot }\|_{\mathrm {JL} _{2}}).}$ Powyższa definicja zależy od wyboru rodziny ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jednak niezależenie od doboru ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}}$ nie będzie WCG w przeciwieństwie do przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*}.}$ Rzeczywiście, przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ jest (izometryczna z) podprzestrzenią ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}.}$ Niech ${\displaystyle x\in V}$ będzie dany wzorem (1). Wówczas

${\displaystyle \|x\|_{\mathrm {JL} _{2}}\geqslant {\Big (}\sum _{k=1}^{n}|a_{A_{k}}|^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}=\|(a_{A})_{A\in {\mathcal {B}}}\|_{\ell _{2}({\mathfrak {c}})}.}$

Ponieważ każde dwa zbiory ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ mają skończoną część wspólną, istnieje taki element ${\displaystyle z}$ o skończonym nośniku (czyli ${\displaystyle z\in c_{0}}$), że

${\displaystyle \|z+\sum _{k=1}^{n}a_{A_{k}}\mathbf {1} _{A_{k}}\|=\max _{i\leqslant n}|a_{A_{i}}|,}$

czyli norma ilorazowa klasy abstrakcji ${\displaystyle x}$ w ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}/c_{0}}$ wynosi

${\displaystyle \|[x]\|_{\mathrm {JL} _{2}/c_{0}}=\|(a_{A})_{A\in {\mathcal {B}}}\|_{\ell _{2}({\mathfrak {c}})}.}$

Przechodząc do elementów w uzupełnieniu ${\displaystyle V,}$ można wywnioskować, że

${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}/c_{0}\cong \ell _{2}({\mathfrak {c}}).}$

Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ funkcjonał ${\displaystyle e_{n}}$ określony wzorem

${\displaystyle \langle e_{n},x\rangle =x(n)\quad (x\in \mathrm {JL} _{2})}$

jest liniowy i ciągły. Ponadto, zbiór ${\displaystyle \{e_{n}\colon n=1,2,3,\dots \}}$ jest liniowo gęsty w ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*},}$ czyli *-słaba topologia w ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*}}$ jest ośrodkowa. Ośrodkowość ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*}}$ w *-słabej topologii wynika również z faktu, że operator inkluzji ${\displaystyle T\colon \mathrm {JL} _{2}\to \ell _{\infty }}$ jest ciągły oraz operator sprzężony ${\displaystyle T^{*}\colon \ell _{\infty }^{*}\to \mathrm {JL} _{2}^{*}}$ jest ciągły względem *-słabych topologii^[2]. Istotnie, ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*}}$ jest obrazem poprzez ${\displaystyle T^{*}}$ przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }^{*},}$ która jest ośrodkowa w *-słabej topologii (z twierdzenia Goldstine’a wynika, że ${\displaystyle \ell _{1}}$ jest *-słabo gęste w ${\displaystyle \ell _{\infty }^{*};}$ z ośrodkowości ${\displaystyle \ell _{1}}$ wynika ośrodkowość ${\displaystyle \ell _{\infty }^{*}}$ w *-słabej topologii). W szczególności, każdy zbiór słabo zwarty w ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}}$ jest ośrodkowy. Oznacza to, że ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}}$ nie jest WCG, gdyż jest nieośrodkowa ponieważ zawiera nieprzeliczalny zbiór dyskretny (na przykład, rodzina funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ℬ jest nieprzeliczalnym zbiorem dyskretnym).

Istnieje izomorfizm

${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*}\cong \ell _{1}\oplus \ell _{2}({\mathfrak {c}}).}$

(2)

Rzeczywiście, niech

${\displaystyle 0\longrightarrow c_{0}\longrightarrow \mathrm {JL} _{2}\longrightarrow \ell _{2}({\mathfrak {c}})\longrightarrow 0}$

będzie krótkim ciągiem dokładnym, w którym ${\displaystyle c_{0}\to \mathrm {JL} _{2}}$ jest operatorem inkluzji oraz ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}\to \ell _{2}(c)}$ jest przektszałceniem ilorazowym na ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}/c_{0}\cong \ell _{2}(c).}$ Ciąg dualny

${\displaystyle 0\longrightarrow \ell _{2}({\mathfrak {c}})\longrightarrow \mathrm {JL} _{2}^{*}\longrightarrow \ell _{1}\longrightarrow 0}$

jest również dokładny. Ponieważ ${\displaystyle \ell _{1}}$ jest projektywną przestrzenią Banacha, ciąg ten się rozszczepia, tzn. zachodzi wzór (2). Przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*},}$ jako suma dwóch przestrzeni WCG (przestrzeń ośrodkowej i przestrzeni refleksywnej), jest WCG.

• J.M.F. Castillo, M. González, Three-Space Problems in Banach Space Theory, Lecture Notes in Math., vol. 1667, Springer, Berlin (1997).