Rozwiązanie jednowymiarowego równania Fokkera-Plancka z uwzględnieniem zarówno dryfu, jak i dyfuzji . W tym przypadku warunkiem początkowym jest funkcja delta Diraca wyśrodkowana z dala od zerowej prędkości. Z czasem rozkład rozszerza się z powodu losowych impulsów, doznawanych przez układ od otoczenia. Równanie Fokkera-Plancka – równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu. Opisuje ewolucję czasową funkcji gęstości prawdopodobieństwa
W
(
x
,
v
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {W} (x,v,t)}
Nazwa pochodzi od nazwisk Adriaana Fokkera i Maxa Plancka . Znane jest również pod nazwą prospektywnego równania Kołmogorowa.
Po raz pierwszy równanie to zostało użyte do opisu zjawiska ruchów Browna cząstki zanurzonej w cieczy.
Ogólna forma równania dla N zmiennych:
∂
∂
t
W
(
x
,
v
,
t
)
=
[
−
∑
i
=
1
N
∂
∂
x
i
D
i
1
(
x
1
,
…
,
x
N
)
+
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
N
∂
2
∂
x
i
∂
x
j
D
i
j
2
(
x
1
,
…
,
x
N
)
]
W
(
x
,
v
,
t
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {W} (x,v,t)=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\dots ,x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\dots ,x_{N})\right]\mathbf {W} (x,v,t),}
gdzie
D
1
{\displaystyle D^{1}}
wektor dryftu, a
D
2
{\displaystyle D^{2}}
tensor dyfuzji .
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {W} (x,v,t)=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\dots ,x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\dots ,x_{N})\right]\mathbf {W} (x,v,t),}](./ae298e8e51bf642b806164e3c369f6d56c0b2f90.svg)
