Równanie symetryczne

Równanie symetryczne – równanie algebraiczne postaci

${\displaystyle a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,}$ gdzie dla każdego i zachodzi ${\displaystyle a_{n-i}=a_{i}.}$

Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej ${\displaystyle 2n+1}$ można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej ${\displaystyle n.}$ W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem ${\displaystyle W(-1)=0}$ i na podstawie twierdzenia Bézouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez ${\displaystyle x+1,}$ otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:

${\displaystyle a_{2m}x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0}$

gdzie ${\displaystyle a_{2m-k}=a_{k}}$ i ${\displaystyle a_{2m}\neq 0}$ dzielimy obie strony równania przez ${\displaystyle x^{m}.}$ Grupując wyrazy, otrzymujemy

${\displaystyle a_{2m}(x^{m}+x^{-m})+a_{2m-1}(x^{m-1}+x^{1-m})+\ldots +a_{m+1}(x+x^{-1})+a_{m}=0.}$

Podstawmy teraz ${\displaystyle y=x+x^{-1}.}$ Wówczas sumy ${\displaystyle x^{k}+x^{-k}}$ można wyrazić jako wielomiany zmiennej ${\displaystyle y{:}}$

${\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2,}$

${\displaystyle x^{3}+x^{-3}=y^{3}-3y}$

i ogólnie, korzystając ze związku

${\displaystyle (x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n},}$

czyli

${\displaystyle x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}}$

możemy obliczyć ${\displaystyle x^{n+1}+x^{-n-1},}$ mając ${\displaystyle x^{n}+x^{-n}}$ i ${\displaystyle x^{n-1}+x^{1-n}.}$

Tak więc po podstawieniu ${\displaystyle y=x+x^{-1}}$ równanie redukuje się do równania stopnia ${\displaystyle m{:}}$

${\displaystyle b_{m}y^{m}+b_{m-1}y^{m-1}+\ldots +b_{1}y+b_{0}=0.}$

Rozwiązując to równanie, ze związku ${\displaystyle y=x+x^{-1}}$ otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.

• Równanie ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+bx+a=0,}$ gdzie ${\displaystyle a\neq 0.}$

Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez ${\displaystyle x+1.}$ Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

${\displaystyle ax^{2}+(b-a)x+a=0.}$

• Równanie symetryczne stopnia czwartego zwie się zwyczajowo równaniem zwrotnym

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}$ gdzie ${\displaystyle \neq 0.}$

Dzieląc obustronnie przez ${\displaystyle x^{2}}$ i grupując wyrazy, otrzymujemy

${\displaystyle a(x^{2}+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.}$

Podstawiając ${\displaystyle y=x+x^{-1},}$ mamy ${\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2.}$ Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

${\displaystyle a(y^{2}-2)+by+c=0,}$

${\displaystyle ay^{2}+by+c-2a=0}$

i korzystając z tych rozwiązań, obliczyć ${\displaystyle x.}$

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia
• równanie bikwadratowe