Równoległościan wielowymiarowy

Równoległościan wielowymiarowy – uogólnienie pojęcia równoległoboku i równoległościanu na przestrzenie liniowe bądź afiniczne (w tym unitarne i euklidesowe) dowolnego wymiaru; można go zdefiniować jako bijektywny obraz liniowy bądź afiniczny kostki wielowymiarowej.

Niech ${\displaystyle k\leqslant n.}$ Jeśli ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}}$ są liniowo niezależnymi wektorami ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V,}$ to ${\displaystyle k}$-wymiarowym równoległościanem opartym na tych wektorach nazywa się zbiór

${\displaystyle \mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}t_{i}\mathbf {x} _{i}\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\right\}.}$

Powyższą definicję można przenieść wprost na przestrzenie afiniczne: jeśli ${\displaystyle (A,V)}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią afiniczną (w szczególności może być ${\displaystyle A=V}$) i danych jest ${\displaystyle k\leqslant n}$ liniowo niezależnych wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}}$ przestrzeni ${\displaystyle V,}$ to ${\displaystyle k}$-wymiarowym równoległościanem opartym na wymienionych wektorach i zaczepionym w pewnym punkcie ${\displaystyle a\in A}$ nazywa się zbiór

${\displaystyle \mathrm {R} (\mathrm {a}$ ;\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})=\left\{a+\sum _{i=1}^{k}t_{i}\mathbf {x} _{i}\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\right\}=\mathrm {a} +\mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}).}

Jeśli ${\displaystyle V}$ jest unitarna (zdefiniowano na niej iloczyn skalarny), to można określić ${\displaystyle m}$-wymiarową objętość równoległościanu ${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})}$ jako

${\displaystyle {\big |}\mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}){\big |}_{m}={\begin{cases}0,&{\text{ dla }}m>k,\\{\sqrt {G(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})}},&{\text{ dla }}m=k,\\\infty ,&{\text{ dla }}m<k,\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle G(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})}$ oznacza wyznacznik Grama wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}.}$ Analogicznie określa się objętość równoległościanu w przestrzeniach euklidesowych (przestrzeniach afinicznych z iloczynem skalarnym).

Tak wprowadzona objętość ma własności miary dla równoległościanów i tak jak objętość prostopadłościanów wielowymiarowych jest zgodna z miarą Jordana, czy miarą Lebesgue’a tych figur (w istocie obu można użyć do ich zdefiniowania – zob. objętość przedziału wielowymiarowego).

Objętość ${\displaystyle m}$-wymiarowa równoległościanu ${\displaystyle m}$-wymiarowego w dowolnej m-wymiarowej przestrzeni ${\displaystyle V}$ rozpiętego na wektorach ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{m},}$ gdzie wektor ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ma w ustalonej bazie współrzędne ${\displaystyle (\mathbf {a} _{i1},\mathbf {a} _{i2},\dots ,\mathbf {a} _{im}),}$ oblicza się następująco:

${\displaystyle \mathbf {V} =\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&\dots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mm}\end{bmatrix}}.}$

Wyznacznik ten można traktować jako zorientowaną objętość.

• przedział wielowymiarowy