Rekurencyjna metoda NK

Algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów (WRMNK) został wyprowadzony dla obiektu typu ARX, którego postać przytacza się dla wygody:

${\displaystyle y(i)=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}u(i)+{\frac {1}{A(z^{-1})}}e(i).}$

Zakłada się, że znany jest ciąg wejść obiektu ${\displaystyle u(1),u(2),\dots }$ oraz ciąg wyjść obiektu ${\displaystyle y(1),y(2),\dots ,}$ natomiast sekwencja białego szumu, modelującego zakłócenie sprowadzone na wyjście obiektu ${\displaystyle e(1),e(2),\dots ,}$ jest nieznana.

Niech ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ oznacza wektor nieznanych parametrów obiektu:

${\displaystyle \mathbf {\Theta } =\left\lbrack b_{0}\ b_{1}\ldots \ b_{dB}\ a_{1}\quad a_{2}\ldots \ a_{dA}\right\rbrack ^{T}.}$

Niech ${\displaystyle \mathbf {\hat {\Theta }} (i)}$ oznacza wektor zawierający oszacowania (estymaty) tych parametrów w chwili ${\displaystyle i,}$ oraz niech ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(i-1)}$ oznacza wektor zawierający próbki wejść i wyjść odpowiadające tym parametrom (zwany wektorem regresyjnym):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\varphi }}(i-1)={}&\left\lbrack u(i-k)\ u(i-k-1)\ldots \ u(i-k-dB)\right.\\&\left.-y(i-1)\ -y(i-2)\ldots \ -y(i-dA)\right\rbrack ^{T}\end{aligned}}}$

Niech ponadto wskaźnik jakości będzie dany jako:

${\displaystyle J_{N}(\mathbf {\hat {\Theta }} )={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\lambda ^{N-i}\varepsilon ^{2}(i)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\lambda ^{N-i}\left(y(i)-\mathbf {\hat {\Theta }} ^{T}(i-1){\boldsymbol {\varphi }}(i-1)\right)^{2},}$

gdzie ${\displaystyle \lambda \in (0,1\rbrack }$ zwany jest współczynnikiem ważenia lub zapominania, a ${\displaystyle \varepsilon (i)}$ zwany jest błędem predykcji jednokrokowej.

Algorytmem, który minimalizuje tak zdefiniowany wskaźnik jakości, jest algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, dany wzorem:

${\displaystyle \mathbf {\hat {\Theta }} (i)=\mathbf {\hat {\Theta }} (i-1)+\mathbf {k} (i)\varepsilon (i),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {k} (i)}$ zwany jest wektorem wzmocnienia i liczony jest zgodnie z zależnością:

${\displaystyle \mathbf {k} (i)=\mathbf {P} (i)\cdot {\boldsymbol {\varphi }}(i-1).}$

Użyta w powyższym wzorze macierz ${\displaystyle \mathbf {P} (i)}$ zwana jest macierzą kowariancji. Podstawową zależnością pozwalającą na rekurencyjne wyznaczania tej macierzy jest równanie:

${\displaystyle \mathbf {P} ^{-1}(i)=\lambda \mathbf {P} ^{-1}(i-1)+{\boldsymbol {\varphi }}(i-1){\boldsymbol {\varphi }}^{T}(i-1).}$

Ponieważ jednak zastosowanie powyższego wzoru wiązałoby się z koniecznością odwracania macierzy, algorytm byłby niezwykle skomplikowany w implementacji i potencjalnie niestabilny numerycznie. Na szczęście udało się wyprowadzić zależność rekurencyjną pozwalającą na aktualizację macierzy kowariancji z pominięciem odwracania macierzy, która jest dana zależnością:

${\displaystyle \mathbf {P} (i)={\frac {1}{\lambda }}\left\lbrack \mathbf {P} (i-1)-{\frac {\mathbf {P} (i-1){\boldsymbol {\varphi }}(i-1){\boldsymbol {\varphi }}^{T}(i-1)\mathbf {P} (i-1)}{\lambda +{\boldsymbol {\varphi }}^{T}(i-1)\mathbf {P} (i-1){\boldsymbol {\varphi }}(i-1)}}\right\rbrack }$

Warunek początkowy dla macierzy kowariancji dany jest wzorem:

${\displaystyle \mathbf {P} (0)=\beta \mathbf {I} ,}$

gdzie ${\displaystyle \beta }$ jest pewną, dużą wartością dodatnią (np. 1000).

• metoda najmniejszych kwadratów

W przypadku, gdy ${\displaystyle \lambda =1}$ o metodzie mówi się, że jest bez ważenia (czyli jest to RMNK). Tak sparametryzowana metoda nie nadaje się do identyfikacji obiektów niestacjonarnych (czyli takich, których parametry zmieniają się w czasie), gdyż w macierzy ${\displaystyle \mathbf {P} }$ pamiętana jest cała historia zmian wejścia i wyjścia obiektu. W przypadku identyfikacji obiektów niestacjonarnych zazwyczaj wartość parametru ${\displaystyle \lambda }$ ustala się na nieco mniejszą od jedności (na przykład 0,99).

• Dariusz Bismor: Adaptive Algorithms for Active Noise Control in an Acoustic Duct. Gliwice: Studio Komputerowe Jacka Skalmierskiego, 1999. Brak numerów stron w książce