Relacja rozmyta

Iloczyn ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle S}$ jest zdefiniowany

${\displaystyle \forall _{(x,y)\in X\times Y}:\mu _{R\cap S}(x,y)=min(\mu _{R}(x,y),\mu _{S}(x,y)).}$

Zamiast minimum można użyć dowolnej ${\displaystyle T}$ -normy.

Suma ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle S}$ jest zdefiniowana

${\displaystyle \forall _{(x,y)\in X\times Y}:\mu _{R\cup S}(x,y)=max(\mu _{R}(x,y),\mu _{S}(x,y)).}$

Projekcja ${\displaystyle R}$ na ${\displaystyle S}$ jest zdefiniowana

${\displaystyle proj\;R\;na\;V=\int \limits _{V}\sup _{x_{j_{1}},\dots ,x_{j_{t}}}{\frac {\mu _{R}(x_{1},\dots ,x_{n})}{(x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}}.}$

W przypadku dwójkowym zapis jest prostszy (niech ${\displaystyle R}$ będzie zdefiniowane na ${\displaystyle X\times Y}$)

${\displaystyle proj\;R\;na\;Y=\int \limits _{Y}\sup _{x}{\frac {\mu _{R}(x,y)}{y}}.}$

Zamiast supremum, które jest niezbędne, gdy ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są ciągłe, na ogół operuje się na obszarach dyskretnych, stosując operację maksimum.

Rozszerzenie cylindryczne ${\displaystyle S}$ w ${\displaystyle U}$ to

${\displaystyle ce(S)=\int \limits _{U}{\frac {\mu _{R}(x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{(x_{1},\dots ,x_{n})}}.}$

W przypadku dwójkowym (niech ${\displaystyle F}$ będzie zbiorem rozmytym definiowanym na ${\displaystyle Y}$), rozszerzenie cylindryczne ${\displaystyle F}$ na ${\displaystyle X\times Y}$ jest zbiorem wszystkich n-tek ${\displaystyle (x,y)\in X\times T}$ ze stopniem przynależności równym ${\displaystyle \mu _{F}\;(y),}$ to znaczy

${\displaystyle ce(F)=\int \limits _{X\times Y}{\frac {\mu _{F}(y)}{(x,y)}}.}$

Stąd ${\displaystyle proj\;ce(S)\;na\;V=S,}$ ale ogólnie ${\displaystyle ce\;(proj\;R\;na\;V)\neq R.}$

Kombinacja zbiorów rozmytych i relacji rozmytej za pomocą rozszerzenia cylindrycznego i projekcji jest kompozycją i jest oznaczana przez ${\displaystyle \circ }$

Definicja

Niech ${\displaystyle A}$ będzie zbiorem rozmytym zdefiniowanym na ${\displaystyle X}$ i niech ${\displaystyle R}$ będzie relacją rozmytą zdefiniowaną na ${\displaystyle X\times Y.}$ Wtedy kompozycję ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle R}$ stanowi zbór rozmyty ${\displaystyle B}$ zdefiniowany na ${\displaystyle Y}$ i zapisany

${\displaystyle B=A\circ R=proj\;(ce(A)\cap R)\;na\;Y}$

lub jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą operacji minimum, a projekcja za pomocą operacji maksimum, to

${\displaystyle \mu _{B}(y)=\max _{x}\;\min \;(\mu _{A}(x),\mu _{R}(x,y))}$

Nazywamy to kompozycją max-min.

Jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą produktu, a projekcja za pomocą maksimum, to otrzymujemy

${\displaystyle \mu _{B}(y)=\max _{x}\;\mu _{A}(x)\cdot \mu _{R}(x,y).}$

Nazywamy to kompozycją max-dot lub kompozycją max-produkt.