Rozkład Hotellinga

Statystyka T² Hotellinga^[1] – uogólnienie rozkładu Studenta, który jest używany do testowania hipotez wielowymiarowych. Nazwa pochodzi od Harolda Hotellinga.

Statystyka Hotellinga jest definiowana jako:

${\displaystyle t^{2}=n(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } )'\mathbf {W} ^{-1}(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } ),}$

gdzie ${\displaystyle n}$ jest liczbą obserwacji, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ jest p-wymiarową kolumną wektorową, a ${\displaystyle \mathbf {W} }$ jest ${\displaystyle p\times p}$ macierzą kowariancji.

Jeśli ${\displaystyle x\sim N_{p}(\mu ,\mathbf {V} )}$ jest zmienną losową z wielowymiarowego rozkładu Gaussa i ${\displaystyle \mathbf {W} \sim W_{p}(m,\mathbf {V} )}$ (niezależne od ${\displaystyle x}$) ma rozkład Wisharta z taką samą macierzą wariancji ${\displaystyle \mathbf {V} }$ oraz z ${\displaystyle m=n-1,}$ wówczas rozkład ${\displaystyle t^{2}}$ jest ${\displaystyle T^{2}(p,m),}$ rozkładem T² Hotellinga z parametrami ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle m.}$

Można pokazać, że:

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1},}$

gdzie ${\displaystyle F}$ jest rozkładem F Snedecora.

Teraz załóżmy, że

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$

jest ${\displaystyle p\times 1}$ kolumną wektorową, której wartościami są liczby rzeczywiste. Załóżmy, że

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\ldots +\mathbf {x} _{n})/n}$

są ich średnią. Niech ${\displaystyle p\times p}$ będzie macierzą dodatnie określoną

${\displaystyle \mathbf {W} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)}$

jest macierzą „przykładowych wariancji”. (Transpozycja jakiejkolwiek macierzy ${\displaystyle M}$ jest oznaczona jako ${\displaystyle M'}$). Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie znanym ${\displaystyle p\times 1}$ wektorem. Wówczas statystyka Hotellinga przyjmuje postać:

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-\mathbf {\mu } )'\mathbf {W} ^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-\mathbf {\mu } ).}$

Warto zauważyć, że ${\displaystyle t^{2}}$ jest blisko powiązona z kwadratem odległością Mahalanobisa.

W szczególności może to być pokazane poprzez^[2]:

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}\sim N_{p}(\mu ,\mathbf {V} ),}$ są niezależne, i ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ i ${\displaystyle \mathbf {W} }$ są jak zdefiniowano powyżej, wówczas ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ma rozkład Wisharta z ${\displaystyle n-1}$ stopniami swobody

${\displaystyle \mathbf {W} \sim W_{p}(V,n-1)}$

i jest niezależna od ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }},}$ oraz

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim N_{p}(\mu ,V/n).}$

To oznacza, że:

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-\mathbf {\mu } )'\mathbf {W} ^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-\mathbf {\mu } )\sim T^{2}(p,n-1).}$

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n_{x}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},\mathbf {V} )}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{n_{y}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }}_{Y},\mathbf {V} ),}$ są próbkami niezależnymi wyciągniętymi z dwóch niezależnych wielowymiarowych rozkładów Gaussa o takiej samej średniej oraz kowariancji, i definiujemy

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n_{x}}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\mathbf {x} _{i}\qquad {\overline {\mathbf {y} }}={\frac {1}{n_{y}}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\mathbf {y} _{i}}$

jako średnie próbek, oraz

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {\sum _{i=1}^{n_{x}}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'+\sum _{i=1}^{n_{y}}(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }})'}{n_{x}+n_{y}-2}}}$

jako estymator nieobciążonej macierzy kowariancji, wówczas statystyka T² Hotellinga dla dwóch prób wygląda tak:

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})'\mathbf {W} ^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})\sim T^{2}(p,n_{x}+n_{y}-2)}$

i może być przedstawiona w postaci rozkładu F Snedecora:

${\displaystyle {\frac {n_{x}+n_{y}-p-1}{(n_{x}+n_{y}-2)p}}t^{2}\sim F(p,n_{x}+n_{y}-1-p)}$^[2].

• rozkład F Snedecora
• rozkład Studenta