Siły przekrojowe

Siła przekrojowa – jedno z podstawowych pojęć^[1] z zakresu wytrzymałości materiałów stosowane również w mechanice ośrodków ciągłych. W obu tych dyscyplinach chodzi o znajdowanie rzeczywistego rozkładu naprężeń w ciałach fizycznych poddanych określonym obciążeniom zewnętrznym. Ogólnie stosowana metoda badawcza polega na dokonywaniu wirtualnych przecięć analizowanego ośrodka i uzewnętrznianiu działania sił wewnętrznych. Na to aby przecięty ośrodek zachowywał się tak samo jak przed przecięciem, potrzeba i wystarcza spełnienie ogólnych warunków równowagi zapisanych dla dowolnej z dwu części powstałych w wyniku dokonanego przecięcia. Na skutek tego przecięcia powstają dwa, nieskończenie bliskie, przekroje poprzeczne ${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle II.}$ W każdym punkcie ${\displaystyle A}$ przekroju ${\displaystyle I}$ działa naprężenie ${\displaystyle {\vec {\sigma }},}$ wielkość wektorowa o dwu składowych: normalnej ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{n}}$ do powierzchni przekroju poprzecznego i stycznej ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ do tego przekroju. W punkcie ${\displaystyle A^{'}}$ przekroju ${\displaystyle II,}$ odpowiadającym dokładnie punktowi ${\displaystyle A}$ z przekroju ${\displaystyle I,}$ działa naprężenie przeciwnego znaku ${\displaystyle -{\vec {\sigma }}.}$ Dzięki temu oba przekroje oddziaływają na siebie wzajemnie w sposób równoważny. Dlatego bywa, że nie rozróżnia się tych dwu przekrojów, utożsamiając je ze sobą.

Rozkład naprężeń ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ w przekroju poprzecznym ciała ${\displaystyle (I}$ lub ${\displaystyle II),}$ wywołany działaniem danego obciążenia, jest w ogólnym przypadku, zupełnie nieznany. Dlatego najczęściej z tym przekrojem wiąże się konkretny, kartezjański układ współrzędnych ${\displaystyle Oxyz}$ (gdzie ${\displaystyle Ox}$ – jest osią pręta, a ${\displaystyle Oyz}$ – jest płaszczyzną jego przekroju) i w tym układzie definiuje się tzw. siły przekrojowe^[2]

• siłę podłużną – ${\displaystyle N(x)=\int _{A}\sigma _{n}dA}$ – o dodatnim zwrocie zgodnym z normalną ${\displaystyle {\vec {n}}}$ zewnętrzną przekroju,
• siłę poprzeczną – ${\displaystyle Q_{y}(x)=\int _{A}\tau _{xy}dA}$ – działającą w kierunku zgodnym z osią ${\displaystyle Oy,}$
• siłę poprzeczną – ${\displaystyle Q_{z}(x)=\int _{A}\tau _{xz}dA}$ – działającą w kierunku zgodnym z osią ${\displaystyle Oz,}$
• moment zginający – ${\displaystyle M_{y}(x)=\int _{A}\sigma _{n}zdA}$ – o zwrocie wektora zgodnym z osią ${\displaystyle Oy,}$
• moment zginający – ${\displaystyle M_{z}(x)=\int _{A}\sigma _{n}ydA}$ – o zwrocie wektora zgodnym z osią ${\displaystyle Oz,}$
• moment skręcający – ${\displaystyle M_{x}(x)=\int _{A}(\tau _{xz}y-\tau _{xy}z)dA}$
  – o zwrocie wektora zgodnym z osią ${\displaystyle Ox,}$

gdzie:

${\displaystyle \tau _{xy},\;\tau _{xz}}$ są składowymi naprężenia stycznego ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ odpowiednio w kierunku osi ${\displaystyle Oy,\;Oz.}$

Obliczenie wartości sił przekrojowych na podstawie powyższych wzorów byłoby oczywiście możliwe wtedy, gdyby były znane funkcje ${\displaystyle \sigma _{n}(y,z),\;\tau _{xy}(y,z),\;\tau _{xz}(y,z).}$ W przypadku ogólnym są one jednak nieznane i można tylko próbować je odgadnąć, co udaje się tylko w najprostszych przypadkach^[3]. I tak na przykład założenie, że

${\displaystyle \sigma _{n}(y,z)=ay+bz+c}$

prowadzi do rezultatów bardzo ważnych dla praktyki obliczeniowej.

Rozważmy pręt pryzmatyczny o stałym polu przekroju poprzecznego ${\displaystyle A}$ rozciągany siłą osiową ${\displaystyle P,}$ stałą na całej długości pręta. Z warunku równowagi zapisanego dla części np. ${\displaystyle I}$ otrzymamy, że ${\displaystyle -P+N=0.}$ Przyjmując, że ${\displaystyle a=b=0}$ otrzymujemy, że ${\displaystyle P=\int _{A}\sigma _{n}dA=\int _{A}cdA=cA.}$ Stąd ${\displaystyle c={\frac {P}{A}}.}$

W rozważanym przypadku pozostałe siły przekrojowe mają wartości zerowe.

Gdy obciążenie pręta pryzmatycznego sprowadza się do działania dwu przeciwnie kręcących momentów skupionych ${\displaystyle M}$ na przeciwległych jego końcach w płaszczyźnie ${\displaystyle Oxz,}$ możemy zapisać warunek równowagi np. części ${\displaystyle I}$ w postaci

${\displaystyle -M+M_{y}=0.}$

Jeżeli przyjmiemy, że ${\displaystyle a=c=0,}$ to otrzymamy

${\displaystyle \sigma _{n}(y,z)=bz.}$

Stąd

${\displaystyle M_{y}=\int _{A}\sigma _{n}zdA=\int _{A}bz^{2}dA=bJ_{y}\quad \to \quad b={\frac {M_{y}}{J_{y}}}.}$

Analogicznie otrzymujemy dla przypadku zginania względem osi ${\displaystyle Oz}$ tzn. w płaszczyźnie ${\displaystyle Oxy\colon b=c=0,}$

${\displaystyle M_{z}=\int _{A}\sigma _{n}ydA=\int _{A}ay^{2}dA=aJ_{z}\quad \to \quad a={\frac {M_{z}}{J_{z}}}.}$

Dla przypadku, gdy ${\displaystyle a\neq b\neq c\neq 0}$ otrzymujemy podstawowy wzór ogólny dla pręta pryzmatycznego mimośrodowo rozciąganego/ściskanego

${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {P}{A}}-{\frac {M_{z}}{J_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{J_{y}}}z,}$

w którym ${\displaystyle P,\;M_{y},\;M_{z}}$ reprezentują działające obciążenie, a ${\displaystyle A,\;J_{y},\;J_{z},}$ oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego i jego główne, centralne momenty bezwładności względem osi ${\displaystyle Oy,\ Oz.}$

Siły przekrojowe nie są od siebie niezależne. Rozważając element o długości ${\displaystyle dx,}$ wycięty z pręta pryzmatycznego, możemy dla niego zapisać trzy warunki równowagi w płaszczyźnie ${\displaystyle Oxz}$

• ${\displaystyle -N+ndx+N+dN=0,}$
• ${\displaystyle Q_{z}-qdx-Q_{z}-dQ_{z}=0,}$
• ${\displaystyle M_{y}+Q_{z}dx+qdx\left({\frac {dx}{2}}\right)-M_{y}-dM_{y}=0,}$

w których przez ${\displaystyle n,\;q}$ oznaczono gęstości obciążeń zewnętrznych działających na pręt. Na podstawie tych równań otrzymujemy ${\displaystyle n=-{\frac {dN}{dx}},\quad q=-{\frac {dQ_{z}}{dx}},\quad Q_{z}={\frac {dM_{y}}{dx}}\quad \to \quad {\frac {d^{2}M_{y}}{dx^{2}}}=q.}$

Dla pręta pryzmatycznego, o przekroju symetrycznym względem osi ${\displaystyle Oz,}$ obciążonego w płaszczyźnie ${\displaystyle Oxz}$ można w prosty sposób wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych ${\displaystyle \tau _{xz}.}$ W tym celu trzeba wyodrębnić z tego pręta fragment o długości ${\displaystyle dx,}$ a następnie odciąć górną część fragmentu płaszczyzną równoległą do ${\displaystyle Oxy}$ na wysokości ${\displaystyle z.}$ Warunek równowagi sił działających na fragment w kierunku osi ${\displaystyle Ox}$ (po wykorzystaniu związku ${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {M_{y}}{J_{y}}}z}$) przybiera postać

${\displaystyle -\;\tau _{xz}b(z)dx+\int _{\bar {A}}d\sigma _{n}{\bar {A}}=0\quad \to }$

${\displaystyle {}\qquad \to \quad \ \tau _{xz}b(z)={\frac {dM_{y}}{dxJ_{y}}}\int _{\bar {A}}zd{\bar {A}}\quad \to }$

${\displaystyle {}\qquad \qquad \qquad \to \quad \tau _{xz}={\frac {Q_{z}(x){\bar {S}}_{y}(z)}{J_{y}b(z)}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle \tau _{xz}}$ – naprężenie styczne w poziomie ${\displaystyle z,}$ działające w płaszczyźnie ${\displaystyle Oxz,}$
• ${\displaystyle {\bar {A}}}$ – pole górnej części przekroju odciętej płaszczyzną o równaniu ${\displaystyle z=\mathrm {const} ,}$
• ${\displaystyle {\bar {S}}_{y}(z)=\int _{\bar {A}}zd{\bar {A}}}$ – moment statyczny części przekroju (j.w.) liczony względem osi ${\displaystyle Oy,}$
• ${\displaystyle b(z)}$ – szerokość przekroju mierzona na wysokości ${\displaystyle z.}$

Na podstawie tego wzoru otrzymuje się dla przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach ${\displaystyle b\times h}$

${\displaystyle {\bar {S}}(z)=b\left({\frac {h}{2}}-z\right){\frac {1}{2}}\left({\frac {h}{2}}+z\right),\quad J_{y}={\frac {1}{12}}bh^{3}\quad \to }$

${\displaystyle \to \quad \tau _{xz}={\frac {6Q_{z}}{A}}\left[{\frac {1}{4}}-\left({\frac {z}{h}}\right)^{2}\right].}$

Jak wynika ze wzoru, rozkład naprężeń stycznych jest silnie nieliniowy o maksymalnej wartości ${\displaystyle \tau _{max}=1{,}5\ {\tfrac {Q}{A}}=1{,}5\ \tau _{sr}}$ na osi obojętnej przekroju poprzecznego.

• Siły przekrojowe