Spontaniczne namagnesowanie

Namagnesowanie spontaniczne (pozostałość magnetyczna) – namagnesowanie przy zerowym zewnętrznym polu magnetycznym po uprzednim nasyceniu materiału.

Przybliżenie pola średniego polega na zaniedbaniu fluktuacji kwantowych:

${\displaystyle \delta A=\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}\sim 0.}$

W ten sposób mamy ${\displaystyle \langle A^{2}\rangle =\langle A\rangle ^{2}}$ i wtedy operator ${\displaystyle A^{2}}$ można zastąpić przez ${\displaystyle 2\langle A\rangle A.}$ Model Heisenberga można w przybliżeniu średniego pola zapisać jako

${\displaystyle H_{mf}=-\mu B^{i}\sum _{n}S_{n}^{i}+\sum _{n,g}J_{g}\langle S_{n+g}^{i}\rangle S_{n}^{i}=-\mu L^{i}\sum _{n}S_{n}^{i},}$

gdzie ${\displaystyle L^{i}}$ jest polem molekularnym

${\displaystyle L^{i}=B^{i}-{\frac {1}{\mu }}\sum _{g}J_{g}\langle S_{n+g}^{i}\rangle .}$

Gdy ${\displaystyle J_{g}<0,}$ istnieje rozwiązanie, nawet gdy zewnętrzne pole magnetyczne ${\displaystyle B^{i}=0}$

${\displaystyle L^{3}={\frac {z|J_{g}|}{\mu }}\sigma (x)={\frac {z|J_{g}|}{2\mu }}\,\hbar \,\operatorname {tgh} (x)}$

ze średnim namagnesowaniem

${\displaystyle \sigma =\langle S^{3}\rangle ={\frac {1}{2}}\hbar \operatorname {tgh} (x),}$

gdzie:

${\displaystyle x={\frac {\mu \hbar L^{3}}{2k_{B}T}}.}$

Jest to samouzgodnione równanie na pole molekularne ${\displaystyle L^{3}}$ które można zapisać w postaci

${\displaystyle t\ x={\frac {T}{T_{0}}}x=\operatorname {tgh} (x).}$

${\displaystyle T_{0}}$ określa temperaturę przejścia fazowego

${\displaystyle T_{0}={\frac {z|J_{g}|\hbar ^{2}}{4k_{B}}}.}$

Rozwiązaniem jest przecięcie prostej ${\displaystyle (T/T_{0})\cdot x}$ z funkcją tgh(x). Funkcja ${\displaystyle \operatorname {tgh} (x)}$ ma rozwinięcie w szereg

${\displaystyle \operatorname {tgh} (x)=1-{\frac {1}{3}}x^{3}+\dots }$

Samouzgodnione równanie ${\displaystyle t\cdot x=\operatorname {tgh} (x)}$ daje w tym przybliżeniu wynik teorii przejść fazowych Landaua

${\displaystyle \left({\frac {T}{T_{0}}}-1\right)x+{\frac {1}{3}}x^{3}=0.}$

Równanie to wyznacza minimum (dokładniej ekstremum) energii swobodnej

${\displaystyle F(t,x)\sim {\frac {1}{2}}(t-1)x^{2}+{\frac {1}{12}}x^{4}.}$

• C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999.