Suma Gaussa

Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.

Niech ${\displaystyle p}$ będzie liczbą pierwszą, zaś ${\displaystyle a}$ liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem

${\displaystyle g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{2\pi ian^{2}/p}=\sum _{n=0}^{p-1}e_{p}(an^{2}),}$

gdzie ${\displaystyle e_{p}(x)=e^{2\pi ix/p}.}$

Dla ${\displaystyle a}$ niepodzielnych przez ${\displaystyle p}$ (w przeciwnym wypadku suma jest równa ${\displaystyle p-1}$) równoważnie można ją zapisać jako

${\displaystyle g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e^{2\pi ian/p},}$

gdzie ${\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)}$ jest symbolem Legendre’a.

• Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie ${\displaystyle g(1,p)}$

${\displaystyle g(a,p)=\left({\frac {a}{p}}\right)g(1,p)}$

• Dokładna wartość ${\displaystyle g(1,p)}$ wyliczona przez Gaussa wynosi

${\displaystyle g(1;p)={\begin{cases}{\sqrt {p}}&p\equiv 1\mod 4\\i{\sqrt {p}}&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}.}$

• Dowód tego, że wartość bezwzględna ${\displaystyle g(1,p)}$ wynosi ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ jest prosty:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(1,p)^{2}&=\sum _{m_{1}=1}^{p-1}\sum _{m_{2}=1}^{p-1}\left({\frac {m_{1}m_{2}}{p}}\right)e_{p}(m_{1}+m_{2})\\&=\sum _{m_{1}=1}^{p-1}\sum _{n=1}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e_{p}(m_{1}+m_{1}n)\\&=p\left({\frac {-1}{p}}\right)+\sum _{n=1}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)(-1)\\&=p\left({\frac {-1}{p}}\right),\end{aligned}}}$

gdyż

${\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}e_{p}(m(n+1))={\begin{cases}p-1&n\equiv -1\mod p\\-1&{\text{w przeciwnym przypadku}}.\end{cases}}.}$

• Ogólnie dla dowolnej sumy ${\displaystyle S(N)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{2\pi in^{2}/N},}$ gdzie ${\displaystyle N}$ jest liczbą całkowitą, zachodzi

${\displaystyle S(N)={\begin{cases}(1+i){\sqrt {N}}&N\equiv 0\mod 4\\{\sqrt {N}}&N\equiv 1\mod 4\\0&N\equiv 2\mod 4\\i{\sqrt {N}}&N\equiv 3\mod 4\end{cases}}.}$

• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000.