Twierdzenie Blichfeldta

Twierdzenie Blichfeldta – twierdzenie geometrii kombinatorycznej opublikowane w 1914 przez duńskiego matematyka, Hansa Fredericka Blichfeldta^[1], które jest rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego o punktach kratowych; w szczególności twierdzenie Minkowskiego daje się wyprowadzić z twierdzenia Blichfeldta^[2].

Niech ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{d}}$ będzie bazą w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ oraz niech

${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} f_{1}+\ldots +\mathbb {Z} f_{d}}$

będzie kratą generowaną przez ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{d}.}$ Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest takim zbiorem mierzalnym w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ że

${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}(A)>\mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma }),}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma })}$ oznacza ${\displaystyle d}$-wymiarową miarę Lebesgue’a (objętość) równoległościanu generowanego przez wektory ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{d},}$ to istnieją takie dwa różne punkty ${\displaystyle a,b\in A,}$ że

${\displaystyle a-b\in \Gamma .}$

• Juliusz Wójcik, O zastosowaniu geometrii liczb do przedstawień liczb naturalnych przez sumy kwadratów, „Wiadomości Matematyczne”, 10 (1975), s. 19–31.

• C.D. Olds, Anneli Lax, Giuliana Davidoff, Giuliana P. Davidoff, The Geometry of Numbers, Cambridge University Press, 2000.