Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda

Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda mówi o sposobie obliczania promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Mamy szereg potęgowy ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n},}$ który jest zbieżny na przedziale ${\displaystyle (x_{0}-R,x_{0}+R).}$ Liczbę ${\displaystyle R}$ nazywamy promieniem zbieżności i obliczamy według wzoru:

${\displaystyle R={\begin{cases}\infty ,&\lambda =0\\0,&\lambda =\infty \\{\frac {1}{\lambda }},&0<\lambda <\infty \end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle \lambda =\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}.}$

Niech ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ oraz ${\displaystyle d_{x}:=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}(x-x_{0})^{n}|}}=\lambda |x-x_{0}|.}$ Z kryterium Cauchy’ego mamy:

1. jeżeli ${\displaystyle d_{x}<1}$ to szereg ${\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}$ jest zbieżny bezwzględnie, czyli ${\displaystyle x\in P,}$
2. jeżeli ${\displaystyle d_{x}>1}$ to szereg ${\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}$ jest rozbieżny, czyli ${\displaystyle x\notin P.}$

Zauważamy, że ${\displaystyle d_{x}<1\Leftrightarrow |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}}$ (o ile wolno dzielić przez ${\displaystyle \lambda }$).

Jeżeli:

1. ${\displaystyle \lambda =0\Rightarrow \forall _{x\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle d_{x}=0,}$ czyli ${\displaystyle d_{x}<1,x\in P,x\in \mathbb {R} ,}$ stąd ${\displaystyle P=\mathbb {R} ,}$
2. ${\displaystyle \lambda =\infty \Rightarrow }$ dla ${\displaystyle x\neq x_{0}}$ ${\displaystyle d_{x}=\infty ,}$ czyli ${\displaystyle d_{x}>1,}$ stąd ${\displaystyle P=\{x_{0}\},R=0}$
3. ${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$ wówczas ${\displaystyle d_{x}<1\Leftrightarrow |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}.}$ Zatem jeżeli ${\displaystyle |x-x_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}\Rightarrow x\in P}$ oraz ${\displaystyle |x-x_{0}|\leqslant R\Rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\leqslant R.}$ Zakładamy teraz, że ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}<R.}$ Z definicji kresu górnego ${\displaystyle \exists _{x_{1}\in P}|x_{1}-x_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}.}$ Wtedy jednak ${\displaystyle d_{x}>1,}$ co oznacza, że szereg ${\displaystyle \sum a_{n}(x_{1}-x_{0})^{n}}$ jest rozbieżny, a to jest sprzeczne z założeniem, iż ${\displaystyle x_{1}\in P.}$ Tak więc ${\displaystyle R={\frac {1}{\lambda }}.}$

• Wojciech Kryszewski: Wykład analizy matematycznej. Część 1. Funkcje jednej zmiennej. Toruń: Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 2009. ISBN 978-83-231-2352-1. Brak numerów stron w książce

• Cauchy-Hadamard theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].