Twierdzenie Gliwienki-Cantellego

Twierdzenie Gliwienki-Cantellego – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa opisujące asymptotyczne zachowanie dystrybuanty empirycznej w miarę wzrostu liczebności próby losowej^[1]. Zgodnie z tym twierdzeniem dystrybuanta empiryczna zbiega jednostajnie do prawdziwej dystrybuanty prawie na pewno (p.n.). Twierdzenie Gliwienki-Cantellego nazywane jest podstawowym twierdzeniem statystyki matematycznej^[2].

Dla niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ o jednakowym rozkładzie określonym dystrybuantą ${\displaystyle F(x),}$ dystrybuanta empiryczna ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ zdefiniowana jest następująco:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{[X_{i},\infty )}(x)={\frac {1}{n}}\left\vert \left\{i\mid X_{i}\leqslant x,1\leqslant i\leqslant n\right\}\right\vert }$,

gdzie ${\displaystyle I_{C}}$ oznacza funkcję charakterystyczną (indykator) zbioru ${\displaystyle C.}$

Niech

${\displaystyle D_{n}=\sup _{-\infty <x<\infty }|F_{n}(x)-F(x)|}$.

Jeżeli próba ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ pochodzi z rozkładu o dystrybuancie ${\displaystyle F}$, to ${\displaystyle D_{n}\rightarrow 0}$ z prawdopodobieństwem 1, gdy ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Dla ułatwienia rozważmy ciągłą zmienną losową ${\displaystyle X}$. Ustalmy ${\displaystyle -\infty =x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{m-1}<x_{m}=\infty }$, aby ${\displaystyle F(x_{j})-F(x_{j-1})={\frac {1}{m}}}$ dla${\displaystyle j=1,\dots ,m}$. Teraz dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ istnieje ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,m\}}$, takie że ${\displaystyle x\in [x_{j-1},x_{j}]}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(x)-F(x)&\leqslant F_{n}(x_{j})-F(x_{j-1})=F_{n}(x_{j})-F(x_{j})+{\frac {1}{m}},\\F_{n}(x)-F(x)&\geqslant F_{n}(x_{j-1})-F(x_{j})=F_{n}(x_{j-1})-F(x_{j-1})-{\frac {1}{m}}.\end{aligned}}}$

Stąd

${\displaystyle \|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|\leqslant \max _{j\in \{1,\dots ,m\}}|F_{n}(x_{j})-F(x_{j})|+{\frac {1}{m}}.}$

Ponieważ na podstawie mocnego prawa wielkich liczb ${\textstyle \max _{j\in \{1,\dots ,m\}}|F_{n}(x_{j})-F(x_{j})|\to 0{\text{ p.n.}}}$, możemy zapewnić, że dla dowolnego dodatniego ${\textstyle \varepsilon }$ i dowolnej liczby całkowitej ${\textstyle m}$, takiej że ${\textstyle 1/m<\varepsilon }$, można znaleźć ${\textstyle N}$ taką że dla każdego ${\displaystyle n\geqslant N}$, mamy ${\textstyle \max _{j\in \{1,\dots ,m\}}|F_{n}(x_{j})-F(x_{j})|\leqslant \varepsilon -1/m{\text{ p.n.}}}$ W powiązaniu z powyższym rezultatem, oznacza to dalej, że ${\textstyle \|F_{n}-F\|_{\infty }\leqslant \varepsilon {\text{ p.n.}}}$, co było do okazania.