Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym

W matematyce, dokładniej w topologii algebraicznej, twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym to twierdzenie dające kryterium, dzięki któremu można stwierdzić, czy odwzorowanie z realizacji geometrycznej zwartego (tj. skończonego) kompleksu symplicjlanego w siebie ma punkt stały.

Niech ${\displaystyle K}$ będzie skończonym kompleksem symplicjalnym, ${\displaystyle |K|}$ jego realizacją geometryczną, ${\displaystyle f\colon |K|\to |K|}$ odwzorowaniem ciągłym, a ${\displaystyle \lambda (f)}$ liczbą Lefschetza^[1] odwzorowania ${\displaystyle f.}$ Wówczas jeżeli ${\displaystyle \lambda (f)\neq 0,}$ to odwzorowanie ${\displaystyle f}$ ma punkt stały^[2].

Jeżeli przestrzeń ${\displaystyle |K|}$ jest ściągalna (w szczególności, gdy jest sympleksem), to liczba Lefschetza dowolnego odwzorowania ciągłego ${\displaystyle f\colon |K|\to |K|}$ jest równa 1, a więc każde takie odwzorowanie ma punkt stały. Czyli z twierdzenia Lefschetza wynika twierdzenie Brouwera o punkcie stałym^[2].

• twierdzenie Brouwera o punkcie stałym