Twierdzenie Rainwatera

Twierdzenie Rainwatera – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że ciąg ograniczony ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ w przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ jest słabo zbieżny do pewnego elementu ${\displaystyle x\in X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego ${\displaystyle f}$ kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*}}$ zachodzi warunek

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle f,x_{n}\rangle =\langle f,x\rangle }$^[1][2].

Innymi słowy, twierdzenie Rainwatera mówi, że w celu badania słabej zbieżności ciągu w przestrzeni Banacha wystarczy ograniczyć się do sprawdzania słabej zbieżności na punktach ekstremalnych kuli dualnej. Twierdzenie zostało udowodnione przez grupę matematyków publikujących pod wspólnym pseudonimem John Rainwater^[3].

Niech ${\displaystyle K}$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech ${\displaystyle C(K)}$ oznacza przestrzeń Banacha rzeczywistych funkcji ciągłych na ${\displaystyle K}$ z normą supremum. Punkty ekstremalne kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle C(K)^{*}}$ są postaci ${\displaystyle \pm \delta _{x},}$ gdzie ${\displaystyle \langle \delta _{x},f\rangle =f(x)}$ ${\displaystyle (x\in K,f\in C(K)).}$ Z twierdzenia Rainwatera wynika, że jeżeli ograniczony ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ elementów przestrzeni ${\displaystyle C(K)}$ jest zbieżny punktowo do pewnej funkcji ciągłej ${\displaystyle f,}$ to jest on zbieżny do ${\displaystyle f}$ w słabej topologii przestrzeni ${\displaystyle C(K)}$^[4].

• Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
• MariánM. Fabian MariánM. i inni, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, New York: Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-1-4419-7514-0 .